微积分学/泰勒级数

泰勒级数

$\sin x$及其1, 3, 5, 7, 9, 11和13阶泰勒展开式的图像

其中$n!$为$n$的阶乘，$f^{(n)}(a)$为$f$在$a$的$n$阶导数。若$a=0$，级数又称麦克劳林级数。

通常情况下，这一级数收敛于$f(x)$，但需要注意的是，有些无限可导函数$f(x)$的泰勒级数也收敛，但并不等于$f(x)$。例如，分段函数$f(x)=\{\begin{array}{cc}0& x=0\\ e^{-\frac{1}{x^2}}& x\ne 0\end{array}$在$x=0$的各阶导数均为0，所以$f(x)$的麦克劳林级数为0，收敛半径为无穷大，但函数值显然并不是0。

原理

假设我们想要将函数表示为无穷幂级数，即：

$f(x)=c_0(x-a{)}^0+c_1(x-a{)}^1+c_2(x-a{)}^2+c_3(x-a{)}^3+\cdots +c_n(x-a{)}^n+\cdots$

其中$a$为收敛半径，$c_0,c_1,c_2,\dots ,c_n,\dots$为系数。用求和符号来表示，就是

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(x-a{)}^n$

接下来我们要求出各项的系数。显然

$f(a)=c_0$

于是得出$c_0$。至于其它项，我们把等式两边求导可得

$f^{\prime }(x)=c_1(x-a{)}^0+2c_2(x-a{)}^1+3c_3(x-a{)}^2+4c_4(x-a{)}^3+\cdots +n{c}_n(x-a{)}^{(n-1)}+\cdots$

把$a$代入得

$f^{\prime }(a)=c_1$

求二阶导，我们又可以得到$c_2$，即

$f^{″}(x)=2c_2+(2\times 3)c_3(x-a{)}^1+(3\times 4)c_4(x-a{)}^2+\cdots +(n)(n-1)c_n(x-a{)}^{(n-2)}+\cdots$

再把$a$代入得

$f^{″}(a)=2c_2$

继续求导，又能得到

$f^{‴}(x)=(2\times 3)c_3(x-a{)}^0+(2\times 3\times 4)c_4(x-a{)}^1+(3\times 4\times 5)c_5(x-a{)}^2+\cdots +(n)(n-1)(n-2)c_n(x-a{)}^{n-3}$

再把$a$代入得

$f^{‴}(a)=(2\times 3)c_3$

以此类推，求 $n$次导可得

$\frac{d^n}{d{x}^n}f(a)=n!\times c_n$

即

$c_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$

其中$f^{(0)}(x)=f(x)$，$f^{(1)}(x)=f^{\prime }(x)$，以此类推。代入前面的这个式子

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(x-a{)}^n$

可以得到

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$

泰勒级数列表

以下列出几个重要的泰勒展开式。

指数函数和自然对数：

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}\text{对 任 意 }x$

$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{x}^n|x|<1$

幾何級數：

$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n|x|<1$

二项式级数：

$(1+x{)}^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})x^n|x|<1$

三角函数：

$\sin x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{(2n-1)!}{x}^{2n-1}$

$\cos x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}$

$\tan x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}(-4{)}^n(1-4^n)}{(2n)!}{x}^{2n-1}|x|<\frac{\pi }{2}$

$\sec x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{E}_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n}|x|<\frac{\pi }{2}$

$\arcsin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}|x|<1$

$\arctan x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1}|x|<1$

双曲函数：

$\sinh x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}\text{对 任 意 }x$

$\cosh x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n}}{(2n)!}\text{对 任 意 }x$

$\tanh x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}{2}^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}{x}^{2n-1}|x|<\frac{\pi }{2}$

$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}|x|<1$

$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}|x|<1$

朗伯W函数：

$W_0(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-n{)}^{n-1}}{n!}{x}^n|x|<\frac{1}{e}$

其中$B_k$为伯努利數，$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})$为二項式係數，$E_k$为欧拉数。

例题

例1

求以下函数的麦克劳林级数

$f(x)=\ln (1+\cos x)$

解答

已知自然对数

$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}{x}^n=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots |x|<1$

和余弦函数

$\cos x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots \text{对 任 意 }x\in ℂ$

我们可以直接把第二个级数代入第一个，得到

$(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots )-\frac{1}{2}{(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots )}^2+\frac{1}{3}{(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots )}^3-\cdots$

运用多项式定理展开即可得麦克劳林级数为

$\ln (1+\cos x)=\ln 2-\frac{x^2}{4}-\frac{x^4}{96}-\frac{x^6}{1440}-\frac{17x^8}{322560}-\frac{31x^{10}}{7257600}-\cdots$

例2

求以下函数的麦克劳林级数

$g(x)=\frac{e^x}{\cos x}$

解答

已知指数函数

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$

和余弦函数

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$

设待求级数为

$\frac{e^x}{\cos x}=c_0+c_{1}x+c_2{x}^2+c_3{x}^3+\cdots$

等号两边同时乘分母并代换得

$e^x$	$=(c_0+c_{1}x+c_2{x}^2+c_3{x}^3+\cdots )\cos x$
	$=(c_0+c_{1}x+c_2{x}^2+c_3{x}^3+c_4{x}^4+\cdots )(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots )$
	$=c_0-\frac{c_0}{2}{x}^2+\frac{c_0}{4!}{x}^4+c_{1}x-\frac{c_1}{2}{x}^3+\frac{c_1}{4!}{x}^5+c_2{x}^2-\frac{c_2}{2}{x}^4+\frac{c_2}{4!}{x}^6+c_3{x}^3-\frac{c_3}{2}{x}^5+\frac{c_3}{4!}{x}^7+\cdots$

合并同类项得

$e^x=c_0+c_{1}x+(c_2-\frac{c_0}{2})x^2+(c_3-\frac{c_1}{2})x^3+(c_4+\frac{c_0}{4!}-\frac{c_2}{2})x^4+\cdots$

与指数函数的麦克劳林级数比较可得待求级数为

$\frac{e^x}{\cos x}=1+x+x^2+\frac{2x^3}{3}+\frac{x^4}{2}+\cdots$