國中數學/國中數學七年級/1-3 正負數的乘除

Template:Header2 本單元將介紹正負整數與正負小數的乘除運算。關於分數的部分請見2-4 分數的乘除。

正負數的乘法

雨婷的媽媽經營小本生意，每天可以賺取 $5$ 萬元，在最近雨婷的媽媽達到收支平衡。
如果雨婷的媽媽在今天達到收支平衡，那代表 $1$ 天後雨婷的媽媽可以賺取 $5$ 萬元， $2$ 天後雨婷的媽媽可以賺取 $10$ 萬元， $3$ 天後雨婷的媽媽可以賺取 $15$ 萬元，……
相反的， $1$ 天前雨婷的媽媽還賠 $5$ 萬元， $2$ 天前雨婷的媽媽還賠 $10$ 萬元， $3$ 天前雨婷的媽媽還賠 $15$ 萬元，……

時間	賺/賠
$3$ 天後	賺 $15$ 萬元
$2$ 天後	賺 $10$ 萬元
$1$ 天後	賺 $5$ 萬元
今天	$0$ 萬元(不賺不賠)
$1$ 天前	賠 $5$ 萬元
$2$ 天前	賠 $10$ 萬元
$3$ 天前	賠 $15$ 萬元

如果「賺」記作正，「賠」記作負，則我們可以紀錄成

時間	賺/賠	算式紀錄
$3$ 天後	賺 $15$ 萬元	$(+ 5) \times (+ 3) = + 15$
$2$ 天後	賺 $10$ 萬元	$(+ 5) \times (+ 2) = + 10$
$1$ 天後	賺 $5$ 萬元	$(+ 5) \times (+ 1) = + 5$
今天	$0$ 萬元(不賺不賠)	$(+ 5) \times 0 = 0$
$1$ 天前	賠 $5$ 萬元	$(+ 5) \times (- 1) = - 5$
$2$ 天前	賠 $10$ 萬元	$(+ 5) \times (- 2) = - 10$
$3$ 天前	賠 $15$ 萬元	$(+ 5) \times (- 3) = - 15$

所以我們可以得到以下結果：

  $a, b$ 為正數，則 $(+ a) \times (- b) = - (a \times b)$

這個式子中， $- (a \times b)$ 代表 $(a \times b)$ 這個數的相反數。

我們利用以下的例題練習上述式子的運用。
Template:ExampleRobox計算以下各式：
$(1) 5 \times (- 4)$
$(2) 0.3 \times (- 1.2)$
Template:Robox/Close Template:Robox $(1) 5 \times (- 4) = - (5 \times 4) = - 20$
$(2) 0.3 \times (- 1.2) = - (0.3 \times 1.2) = - 0.36$
Template:Robox/Close 小測 <quiz>

{ $3 \times (- 7) = ?$ |type="()"} - $21$ + $- 21$

{ $1.4 \times (- 5) = ?$ |type="()"} - $7$ + $- 7$

</quiz> 但是雨婷的哥哥可就不同，每天都會賠 $5$ 萬元，在最近雨婷的哥哥達到收支平衡。
如果雨婷的哥哥在今天達到收支平衡，那代表 $1$ 天後雨婷的哥哥會賠 $5$ 萬元， $2$ 天後雨婷的哥哥會賠 $10$ 萬元， $3$ 天後雨婷的哥哥會賠 $15$ 萬元，……
相反的， $1$ 天前雨婷的哥哥還賺 $5$ 萬元， $2$ 天前雨婷的哥哥賺 $10$ 萬元， $3$ 天前雨婷的哥哥賺 $15$ 萬元，……

時間	賺/賠
$3$ 天後	賠 $15$ 萬元
$2$ 天後	賠 $10$ 萬元
$1$ 天後	賠 $5$ 萬元
今天	$0$ 萬元(不賺不賠)
$1$ 天前	賺 $5$ 萬元
$2$ 天前	賺 $10$ 萬元
$3$ 天前	賺 $15$ 萬元

如果「賺」記作正，「賠」記作負，則我們可以紀錄成

時間	賺/賠	算式紀錄
$3$ 天後	賠 $15$ 萬元	$(- 5) \times (+ 3) = - 15$
$2$ 天後	賠 $10$ 萬元	$(- 5) \times (+ 2) = - 10$
$1$ 天後	賠 $5$ 萬元	$(- 5) \times (+ 1) = - 5$
今天	$0$ 萬元(不賺不賠)	$(- 5) \times 0 = 0$
$1$ 天前	賺 $5$ 萬元	$(- 5) \times (- 1) = + 5$
$2$ 天前	賺 $10$ 萬元	$(- 5) \times (- 2) = + 10$
$3$ 天前	賺 $15$ 萬元	$(- 5) \times (- 3) = + 15$

所以我們可以得到以下結果：

  $a, b$ 為正數，則 $(- a) \times (+ b) = - (a \times b)$ ； $(- a) \times (- b) = a \times b$

我們利用以下的例題練習上述式子的運用。
Template:ExampleRobox計算以下各式：
$(1) (- 3) \times (- 9)$
$(2) (- 3.6) \times 1.2$
Template:Robox/Close Template:Robox $(1) (- 3) \times (- 9) = 3 \times 9 = 27$
$(2) (- 3.6) \times 1.2 = - (3.6 \times 1.2) = - 4.32$
Template:Robox/Close 小測 <quiz>

{ $(- 3) \times (- 7) = ?$ |type="()"} + $21$ - $- 21$

{ $(- 2.9) \times 10 = ?$ |type="()"} - $29$ + $- 29$

{ $(- 11) \times 7 = ?$ |type="()"} - $77$ + $- 77$

{ $(- 1.4) \times (- 1.6) = ?$ |type="()"} + $2.24$ - $- 2.24$

</quiz>

正負數乘法的口訣

正負數乘法的口訣為：

 正正得正，正負得負，負正得負，負負得正

這個口訣的意思為當兩個正數相乘，得到的答案為正數；一正一負相乘，得到的答案為負數；兩個負數相乘，得到的答案為正數。所以進一步的，我們得到

 同號數相乘，其值為正；異號數相乘，其值為負。

Template:ExampleRobox計算下列各式的值。
$(1) (- 9) \times (- 3)$
$(2) (- 1.2) \times 0.3$
$(3) 1.2 \times (- 3.6)$ Template:Robox/Close Template:Robox $(1)$ 因為負負得正的關係，所以 $(- 9) \times (- 3) = 9 \times 3 = 27$
$(2)$ 因為負正得負的關係，所以 $(- 1.2) \times 0.3 = - (1.2 \times 0.3) = - 0.36$
$(3)$ 因為正負得負的關係，所以 $1.2 \times (- 3.6) = - (1.2 \times 3.6) = - 4.32$
Template:Robox/Close

乘法的交換律

以前我們學過 $3 \times 5 = 5 \times 3 = 15$ ，在負數的計算上正確嗎？
將例題 $3$ 的第 $(1)$ 題與例題 $2$ 的第 $(1)$ 題做比較：

比較項目	例題 $3$ 第 $(1)$ 題	例題 $2$ 第 $(1)$ 題
題目	$(- 9) \times (- 3)$	$(- 3) \times (- 9)$
答案	$27$	$27$

你發現了嗎？兩題的答案是相同的！
習題
$1 .$ 比較例題 $3$ 第 $(2)$ 題與例題 $1$ 第 $(2)$ 題，是否相同？^{[習題解答 1]}
$2 .$ 比較例題 $3$ 第 $(3)$ 題與例題 $2$ 第 $(2)$ 題，是否相同？^{[習題解答 2]}

 若 $a$ 、 $b$ 為兩數，則 $a \times b = b \times a$ 。

乘法的結合律

以前我們也學過 $(3 \times 5) \times 7 = 3 \times (5 \times 7)$ ，可是在負數的計算上正確嗎？
Template:ExampleRobox計算下列各式的值。
$(1) [(- 9) \times (- 10)] \times 8$
$(2) (- 9) \times [(- 10) \times 8]$ Template:Robox/Close Template:Robox $(1) [(- 9) \times (- 10)] \times 8$
$= (9 \times 10) \times 8$ (負負得正)
$= 90 \times 8$
$= 720$
$(2)$ $(- 9) \times [(- 10) \times 8]$
$= (- 9) \times [- (10 \times 8)]$ (負正得負)
$= (- 9) \times (- 80)$
$= 9 \times 80$ (負負得正)
$= 720$
Template:Robox/Close 小測 <quiz> {計算 $[3 \times (- 5)] \times 8$ 與 $3 \times [(- 5) \times 8]$ 的結果，答案是否相同？ |type="()"} + 相同 - 不相同

{計算 $[(- 0.6) \times 1.5] \times (- 3)$ 與 $(- 0.6) \times [1.5 \times (- 3)]$ 的結果，答案是否相同？ |type="()"} + 相同 - 不相同

{計算 $(10 \times 12) \times (- 0.4)$ 與 $10 \times [12 \times (- 0.4)]$ 的結果，答案是否相同？ |type="()"} + 相同 - 不相同

{計算 $[(- 0.3) \times (- 0.4)] \times (- 0.5)$ 與 $(- 0.3) \times [(- 0.4) \times (- 0.5)]$ 的結果，答案是否相同？ |type="()"} + 相同 - 不相同

</quiz> 事實上：

 若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 為三數，則 $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$ 。

1、0、-1的乘法

任何數乘以 $1$ 之後皆等於自己本身。即若 $a$ 是任意數，則 $a \times 1 = 1 \times a = a$ 。
任何數乘以 $0$ 之後皆等於 $0$ 。即若 $a$ 是任意數，則 $a \times 0 = 0 \times a = 0$ 。
任何數乘以 $- 1$ 之後皆等於該數的相反數。即若 $a$ 是任意數，則 $a \times (- 1) = (- 1) \times a = - a$ 。

小測 <quiz> {計算 $(- 1313) \times 1 = ?$ |type="()"} - $1313$ - $0$ + $- 1313$

{計算 $(- 1313) \times 0 = ?$ |type="()"} - $1313$ + $0$ - $- 1313$

{計算 $(- 1313) \times (- 1) = ?$ |type="()"} + $1313$ - $0$ - $- 1313$

{計算 $1 \times (- 0.734) = ?$ |type="()"} - $0.734$ - $0$ + $- 0.734$

{計算 $0 \times (- 0.734) = ?$ |type="()"} - $0.734$ + $0$ - $- 0.734$

{計算 $(- 1) \times 0.734 = ?$ |type="()"} - $0.734$ - $0$ + $- 0.734$ </quiz>

連續數的乘法

進行連續數的乘法時，

有括號要先算。
從左而右計算。
可以利用交換律與結合律簡化計算。

Template:ExampleRobox計算 $[(- 25) \times (- 17)] \times (4 \times 3)$ 的值。 Template:Robox/Close Template:Robox $[(- 25) \times (- 17)] \times (4 \times 3)$
$= (- 25) \times (- 17) \times 4 \times 3$ (拿掉括號)
$= (- 25) \times [(- 17) \times 4] \times 3$ (括中間)
$= (- 25) \times [4 \times (- 17)] \times 3$ (交換律)
$= [(- 25) \times 4] \times (- 17) \times 3$ (結合律)
$= (- 100) \times [(- 17) \times 3]$ (結合律)
$= (- 100) \times (- 51)$
$= 5100$
Template:Robox/Close 習題
$3 .$ 計算下列各式的值：

$(1) 125 \times [37 \times (- 8)]$ ^{[習題解答 3]}
$(2) (- 13) \times (- 4) \times [(- 5) \times (- 7)]$ ^{[習題解答 4]}

連續多數的乘法之正負性

因為負負得正的關係^{[註 1]}，所以：

如果連乘算式當中有奇數個負數時，答案為負數。
如果連乘算式當中有偶數個負數時，答案為正數。
如果連乘算式當中有 $0$ ，答案為 $0$ 。

Template:ExampleRobox判斷以下各式計算的結果為正數、負數或 $0$ ？
$(1) (- 333) \times (- 4444) \times (- 55555) \times (- 666666)$
$(2) (- 2) \times 3 \times (- 4) \times 5 \times (- 6) \times 7$ Template:Robox/Close Template:Robox $(1)$ 式子中沒有 $0$ ，有 $4$ 個負數，為偶數，所以計算結果為正數。
$(2)$ 式子中沒有 $0$ ，有 $3$ 個負數，為奇數，所以計算結果為負數。 Template:Robox/Close 小測 <quiz>

{連乘算式 $134 \times 73 \times 0 \times (- 32) \times (- 79) \times (- 137)$ 的值為正數、負數或 $0$ ？ |type=()} - 正數 + $0$ - 負數

{連乘算式 $(- 2) \times (- 4) \times (- 6) \times \dots \times (- 50)$ 的值為正數、負數或 $0$ ？ |type=()} - 正數 - $0$ + 負數 </quiz>

數的除法

我們在國小時期有學過乘除互逆規則。例如因為 $3 \times 5 = 15$ ，所以 $15 \div 3 = 5$ 而且 $15 \div 5 = 3$ 。
利用這樣的想法，我們可以知道

乘法算式	除法算式 $1$	除法算式 $2$
$(- 3) \times 5 = - 15$	$(- 15) \div (- 3) = 5$	$(- 15) \div 5 = - 3$
$4 \times (- 7) = - 28$	$(- 28) \div 4 = - 7$	$(- 28) \div (- 7) = 4$
$(- 6) \times (- 9) = 54$	$54 \div (- 6) = - 9$	$54 \div (- 9) = - 6$

你可以發現：

 同號數相除，其值為正；異號數相除，其值為負。

所以事實上，除法的運算規則也符合乘法運算^{[註 2]}口訣：

正正得正，正負得負，負正得負，負負得正。

關於1的除法

設 $a$ 是任意數，則 $a \div 1 = a$ 。
設 $a$ 是任意非 $0$ 的數，則 $1 \div a = \frac{1}{a}$ ，其中 $\frac{1}{a}$ 為 $a$ 的倒數^{[註 3]}。

關於-1的除法

設 $a$ 是任意數，則 $a \div (- 1) = - a$ ，即 $a$ 的相反數。
設 $a$ 是任意非 $0$ 的數，則 $(- 1) \div a = - \frac{1}{a}$ 。

關於0的除法

設 $a$ 是任意數，則 $0 \div a = 0$ 。
我們不定義任何數除以 $0$ 的結果。即 $0$ 不能是除數。

Template:ExampleRobox計算下列各式的值：
$(1) (- 98) \div (- 7)$
$(2) (- 130) \div 13$
$(3) 87 \div (- 29)$
Template:Robox/Close Template:Robox $(1)$ 因為負負得正，所以 $(- 98) \div (- 7) = 98 \div 7 = 14$ 。
$(2)$ 因為負正得負，所以 $(- 130) \div 13 = - (130 \div 13) = - 10$ 。
$(3)$ 因為正負得負，所以 $87 \div (- 29) = - (87 \div 29) = - 3$ 。
Template:Robox/Close 小測 <quiz>

{ $(- 45) \div (- 9) = ?$ |type="()"} + $5$ - $- 5$

{ $84 \div (- 12) = ?$ |type="()"} - $7$ + $- 7$

{ $(- 72) \div 9 = ?$ |type="()"} - $8$ + $- 8$

{若 $(- 121) \div a = 11$ ，則 $a = ?$ |type="()"} - $11$ + $- 11$

{哪一個算式沒有意義？ |type="()"} - $1 \div (- 12)$ - $13 \div (- 1)$ - $0 \div (- 14)$ + $(- 15) \div 0$

</quiz>

正負數乘除混合運算

如同正負數的加減運算一樣，以下是計算正負數的乘除混合運算的時候要注意的規則：

有絕對值要先算。
有括號要先算，順序依序為 $() \to [] \to$ {}^{[註 4]}。
沒括號時，從左而右計算。

另外，乘除混合運算也有類似於交換律的運算^{[註 5]}^{[註 6]}：
設 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 為三個任意數(但不能除以 $0$ )，則：

$a \times b \div c = a \div c \times b$
$a \div b \times c = a \times c \div b$ ^{[註 7]}
$a \div b \div c = a \div c \div b$

我們將利用這些式子練習以下例題： Template:ExampleRobox計算下列各式的值：
$(1) (- 96) \div (- 2) \div 8$
$(2) (- 390) \div (13 \times 5)$
$(3) 805 \div | (- 23) \times 5 |$
$(4) 139 \times (- 97) \div (- 139)$
Template:Robox/Close Template:Robox $(1)$ 因為沒有括號，所以需要從左而右計算。
$(- 96) \div (- 2) \div 8$
$= 48 \div 8$
$= 6$
$(2)$ 因為有括號要先算，所以
$(- 390) \div (13 \times 5)$
$= (- 390) \div 65$
$= - 6$
$(3)$ 因為有絕對值要先算，所以
$805 \div | (- 23) \times 5 |$
$= 805 \div | - 115 |$
$= 805 \div 115$
$= 7$
$(4)$ 觀察 $139 \div (- 139)$ 比較好算，利用交換性，所以
$139 \times (- 97) \div (- 139)$
$= 139 \div (- 139) \times (- 97)$
$= (- 1) \times (- 97)$
$= 97$
Template:Robox/Close 習題
習題 $4 .$ 計算下列各式的值：
$(1) 12 \div (- 3) \times 13$ ^{[習題解答 5]}
$(2) (- 168) \div [(- 3) \times 7]$ ^{[習題解答 6]}
$(3) 123 \div | - 41 | \times (- 9)$ ^{[習題解答 7]}
$(4) (- 9600) \div (- 25) \div 96$ ^{[習題解答 8]}

正負數四則運算

以下是計算正負數四則運算的時候要注意的規則：

有絕對值要先算。
有括號要先算，順序依序為 $() \to [] \to$ {}。
先乘除後加減。
從左而右計算。

Template:ExampleRobox計算下列各式的值：
$(1) 54 - (- 27) \div (- 9)$
$(2) (- 91) \div 13 - | - 12 | \times (- 4)$
$(3) (- 39) \div [24 + 7 \times (- 3)]$
Template:Robox/Close Template:Robox $(1) 54 - (- 27) \div (- 9)$
$= 54 - 3$ (先乘除後加減)
$= 51$
$(2) (- 91) \div 13 - | - 12 | \times (- 4)$
$= (- 91) \div 13 - 12 \times (- 4)$ (有絕對值要先算)
$= (- 7) - (- 48)$ (先乘除後加減)
$= 41$
$(3) (- 39) \div [24 + 7 \times (- 3)]$
$= (- 39) \div [24 + (- 21)]$ (有括號要先算、先乘除後加減)
$= (- 39) \div 3$
$= - 13$
Template:Robox/Close 習題
習題 $5 .$ 計算下列各式的值：
$(1) 5 \times (- 3) + 66 \div (- 11)$ ^{[習題解答 9]}
$(2) (- 450) \div | 29 - (- 3) \times 7 |$ ^{[習題解答 10]}
$(3) 6 \times [| - 21 | + 3 \times (- 9)]$ ^{[習題解答 11]}
$(4) (- 12) - 260 \div (- 5) \div (- 13)$ ^{[習題解答 12]}

註解

↑ 因為無論幾個正數相乘都還是正數，但是乘以一個負數會變成負數，再乘一個負數的話因為負負得正的關係又變成正數，故只要兩兩一組的負數相乘就會變成正數，所以判斷連乘算式的正負性，只要查看負數的數量。至於因為乘以 $0$ 就會變成 $0$ ，所以只要連乘算式裡有乘以 $0$ ，答案必為 $0$ 。
↑ 除法運算符合乘法運算口訣之因為「除以一個數，等於乘以這個數的倒數」。
↑ 倒數會在分數的乘除單元介紹。
↑ 這是大括號符號，通常加在中括號外面。
↑ 正負數加減混合運算也是，只是我們將減法改成加法運算，所以這裡就沒有細談。
↑ 原因依舊是除以一個數，就等於乘以這個數的倒數，再利用乘法交換律得到這樣的結果。
↑ 只是第1條式子 $b$ 改成 $c$ ， $c$ 改成 $b$ 然後等號兩邊顛倒而已。

習題解答

↑ 習題 $1 .$

比較項目例題 $3$ 第 $(2)$ 題例題 $1$ 第 $(2)$ 題

題目 $(- 1.2) \times 0.3$ $0.3 \times (- 1.2)$

答案 $- 0.36$ $- 0.36$

故一樣。
↑ 習題 $2 .$

比較項目例題 $3$ 第 $(3)$ 題例題 $2$ 第 $(2)$ 題

題目 $1.2 \times (- 3.6)$ $(- 3.6) \times 1.2$

答案 $- 4.32$ $- 4.32$

故一樣。
↑ 習題 $3 . (1) - 37000$
↑ 習題 $3 . (2) 1820$
↑ 習題 $4 . (1) - 52$
↑ 習題 $4 . (2) 8$
↑ 習題 $4 . (3) - 27$
↑ 習題 $4 . (4) 4$
↑ 習題 $5 . (1) - 21$
↑ 習題 $5 . (2) - 9$
↑ 習題 $5 . (3) - 36$
↑ 習題 $5 . (4) - 16$

[5] 因為無論幾個正數相乘都還是正數，但是乘以一個負數會變成負數，再乘一個負數的話因為負負得正的關係又變成正數，故只要兩兩一組的負數相乘就會變成正數，所以判斷連乘算式的正負性，只要查看負數的數量。至於因為乘以 $0$ 就會變成 $0$ ，所以只要連乘算式裡有乘以 $0$ ，答案必為 $0$ 。

[6] 除法運算符合乘法運算口訣之因為「除以一個數，等於乘以這個數的倒數」。

[7] 倒數會在分數的乘除單元介紹。

[8] 這是大括號符號，通常加在中括號外面。

[9] 正負數加減混合運算也是，只是我們將減法改成加法運算，所以這裡就沒有細談。

[10] 原因依舊是除以一個數，就等於乘以這個數的倒數，再利用乘法交換律得到這樣的結果。

[11] 只是第1條式子 $b$ 改成 $c$ ， $c$ 改成 $b$ 然後等號兩邊顛倒而已。

[1] 習題 $1 .$

比較項目例題 $3$ 第 $(2)$ 題例題 $1$ 第 $(2)$ 題

題目 $(- 1.2) \times 0.3$ $0.3 \times (- 1.2)$

答案 $- 0.36$ $- 0.36$

故一樣。

[2] 習題 $2 .$

比較項目例題 $3$ 第 $(3)$ 題例題 $2$ 第 $(2)$ 題

題目 $1.2 \times (- 3.6)$ $(- 3.6) \times 1.2$

答案 $- 4.32$ $- 4.32$

故一樣。

[3] 習題 $3 . (1) - 37000$

[4] 習題 $3 . (2) 1820$

[12] 習題 $4 . (1) - 52$

[13] 習題 $4 . (2) 8$

[14] 習題 $4 . (3) - 27$

[15] 習題 $4 . (4) 4$

[16] 習題 $5 . (1) - 21$

[17] 習題 $5 . (2) - 9$

[18] 習題 $5 . (3) - 36$

[19] 習題 $5 . (4) - 16$

[習題解答 1]

[習題解答 2]

[習題解答 3]

[習題解答 4]

[註 1]

[註 2]

[註 3]

[註 4]

[註 5]

[註 6]

[註 7]

[習題解答 5]

[習題解答 6]

[習題解答 7]

[習題解答 8]

[習題解答 9]

[習題解答 10]

[習題解答 11]

[習題解答 12]

國中數學/國中數學七年級/1-3 正負數的乘除

目录

正負數的乘法

正負數乘法的口訣

乘法的交換律

乘法的結合律

1、0、-1的乘法

連續數的乘法

連續多數的乘法之正負性

數的除法

關於1的除法

關於-1的除法

關於0的除法

正負數乘除混合運算

正負數四則運算

註解

習題解答

导航菜单

比較項目	例題 $3$ 第 $(2)$ 題	例題 $1$ 第 $(2)$ 題
題目	$(- 1.2) \times 0.3$	$0.3 \times (- 1.2)$
答案	$- 0.36$	$- 0.36$

比較項目	例題 $3$ 第 $(3)$ 題	例題 $2$ 第 $(2)$ 題
題目	$1.2 \times (- 3.6)$	$(- 3.6) \times 1.2$
答案	$- 4.32$	$- 4.32$

國中數學/國中數學七年級/1-3 正負數的乘除

正負數的乘法

正負數乘法的口訣

乘法的交換律

乘法的結合律

1、0、-1的乘法

連續數的乘法

連續多數的乘法之正負性

數的除法

關於1的除法

關於-1的除法

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