學院物理/磁場

定義

電量為 q 的電荷，以速度 v 射入，受到與運動方向垂直的作用力 F，則區域內有磁場。

$\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}=i\overrightarrow{l}\times \overrightarrow{B}$

應用

質譜儀

$\begin{array}{cc}& F=qvB=\frac{m{v}^2}{r}\\ & r=\frac{mv}{qB}\end{array}$

速度選擇器

$\begin{array}{cc}& qE=qvB\\ & v=\frac{E}{B}\end{array}$

電荷的螺線運動

$\begin{array}{cc}& r=\frac{mv}{qB}\\ & T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi m}{qB}\\ & \omega =\frac{qB}{m}\\ & P=v_{x}T\end{array}$

例題

三

電子受電位差 ΔV' 從靜止加速進入均勻磁場，電子受垂直行進方向磁場作用，行進路徑彎曲為半徑 r，求磁場與角頻率？

$\begin{array}{cc}\frac{m{v}^2}{2}& -0=-q\mathrm{\Delta }V\\ v=& \sqrt{\frac{-2q\mathrm{\Delta }V}{m}}\\ & B=\frac{mv}{er}\\ & \omega =\frac{v}{r}\end{array}$

四

圖28.20

半徑 R 電流 I 的封閉半圓導線在 xy 平面上受 y 軸方向的均勻磁場，求導線受力？

由於直線導線和磁場垂直，

$\begin{array}{cc}& F_1=2iaB\hat{z}\\ & F_2=-2iaB\hat{z}\end{array}$

五

Torque

$\begin{array}{cc}& \end{array}$

$\begin{array}{cc}& \end{array}$

畢歐沙伐

Template:Wikipedia $d\overrightarrow{B}=\frac{\mu i}{4\pi }\frac{d\overrightarrow{l}\times \hat{r}}{r^2}$

例題

一

θ₁

θ₂

$\begin{array}{c}⟶\\ i\overrightarrow{l}x\end{array}$

↖ $\overrightarrow{r}$

圖29.4

$\begin{array}{cc}& d\overrightarrow{l}\times \hat{r}=\sin (\pi -\frac{\pi }{2}-\theta )dx\hat{\odot }=\cos \theta dx\hat{\odot }\\ & \overrightarrow{B}=\frac{\mu i}{4\pi }\int \frac{d\overrightarrow{l}\times \hat{r}}{r^2}=\frac{\mu i}{4\pi }\int \frac{\cos \theta dx}{r^2}\hat{\odot }\\ & B=\frac{\mu i}{4\pi }\int \frac{|d\overrightarrow{l}\times \hat{r}|}{r^2}=\frac{\mu i}{4\pi }\int \frac{\cos \theta dx}{r^2}=\frac{\mu i}{4\pi }\int \frac{ydx}{r^3}\\ & x=y\tan \theta dx=y{\sec }^2\theta d\theta r=y\sec \theta \\ & =\frac{\mu i}{4\pi }\int \frac{y^2{\sec }^2\theta d\theta }{y^3{\sec }^3\theta }=\frac{\mu i}{4\pi y}\int \cos \theta d\theta =\frac{\mu i}{4\pi y}[\sin \theta {]}_{{\theta }_2}^{{\theta }_1}\\ & =\frac{\mu i}{4\pi y}(\sin {\theta }_1-\sin {\theta }_2)\\ & \\ & {\theta }_1=\frac{\pi }{2}{\theta }_2=-\frac{\pi }{2}B=\frac{\mu i}{2\pi y}\end{array}$

二

圖29.5

$\begin{array}{cc}& B=\frac{\mu i}{4\pi r^2}\int dl\end{array}$

三

x

y

$\begin{array}{cc}& \to i\\ & d\overrightarrow{l}\end{array}$

↗ $\overrightarrow{r}$

↘

$\begin{array}{c}d\overrightarrow{B}\\ \propto \\ d\overrightarrow{l}\times \hat{r}\end{array}$

圖29.6

$\begin{array}{cc}& d\overrightarrow{l}\times \hat{r}=dl\sin {90}^{\circ }\hat{x}=dl\hat{x}\\ & B=\frac{\mu i}{4\pi }\int \frac{|d\overrightarrow{l}\times \hat{r}|}{r^2}=\frac{\mu i}{4\pi }\int \frac{dl}{r^2}=\frac{\mu iy}{2r^2}=\frac{\mu iy}{2(x^2+y^2)}\\ & \int dl=\int yd\theta =y\int d\theta =y2\pi r^2=x^2+y^2\\ & d{B}_x=\frac{\mu iydl}{4\pi r^3}{r}^3={(x^2+y^2)}^{\frac{3}{2}}\\ & B_x=\frac{Ba}{r}=\frac{\mu i{y}^2}{2r^3}=\frac{\mu i{y}^2}{2{(x^2+y^2)}^{\frac{3}{2}}}\\ & {\mu }_A=i\overrightarrow{A}{\mu }_A=iy2\pi \\ & x\to 0B_x=\frac{\mu i}{2y}=\frac{\mu {\mu }_A}{4\pi y^2}\end{array}$

 μ_A 磁矩，μ = μ₀ = 磁導係數

電流磁力

$F=\frac{\mu i{i}_{0}l}{y2\pi }$

例題

四

電流磁力

安培定律

Template:Wikipedia $\int \overrightarrow{B}d\overrightarrow{l}=\mu i$

例題

五

a

圖29.13

$\begin{array}{cc}& B(r\ge a)=\frac{\mu i}{r2\pi }\\ & B(r<a)=\frac{\mu i_0}{r2\pi }=\frac{\mu i{r}^2}{r2\pi a^2}=\frac{\mu ir}{2\pi a^2}\\ & i_0=\frac{i{r}^2}{a^2}\end{array}$

六

線圈磁場

例題

七

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

圖29.21

$\begin{array}{cc}& \mathrm{\Phi }=\int BdA\\ & B=\frac{\mu i}{4\pi r^2}\int \frac{|dl\times r|}{r^2}=\frac{\mu i}{2\pi y}\end{array}$

法拉第定律

Template:Wikipedia $ϵ=-\frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}=-\frac{d}{dt}\int BdA$

例題

一

線圈

$\begin{array}{cc}& ϵ=-N\frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}\\ & i=\frac{\left|ϵ\right|}{R}=\frac{Blv}{R}\end{array}$

二

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

----WW----

R

圖30.9

$\begin{array}{cc}& i=\frac{Blv}{R}\\ & mv\frac{dv}{dt}=-\left({\frac{Blv}{R}}^2\right)R\\ & v=v_0{e}^{-t/\frac{mR}{B^2{l}^2}}=v_0{e}^{\frac{-B^2{l}^{2}t}{mR}}=\frac{dx}{dt}\\ & x=v_0\frac{mR}{B^2{l}^2}\end{array}$

三

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

圖30.10

$\begin{array}{cc}& ϵ=\frac{-d\mathrm{\Phi }}{d}t=\frac{B{l}^{2}d\theta }{2dt}=\frac{B{l}^2\omega }{2}\\ & d\mathrm{\Phi }=BdA=\frac{B{l}^2\pi d\theta }{2\pi }=\frac{B{l}^{2}d\theta }{2}\end{array}$

四

冷次

六

General 螺線管半徑 Template:Mvar 求 r 處 Template:Mvar

圖30.16

$\begin{array}{cc}& B=\mu ni\\ & Ea2\pi =\frac{-d\mathrm{\Phi }}{dt}=\frac{-\pi a^{2}dB}{dt}=\frac{-\pi a^2\mu ndi}{dt}\end{array}$

七

發電

$\begin{array}{cc}& ϵ=NBA\omega \\ & \omega =2\pi fi=\frac{ϵ}{R}\end{array}$

八

馬達的感應電流

$\begin{array}{cc}& i=\frac{ϵ}{R}\end{array}$

電感

Template:Wikipedia $ϵ=\frac{-Ldi}{dt}$

例題

一

螺線管

$\begin{array}{cc}& L=\frac{N\mathrm{\Phi }}{i}=\frac{\mu N^{2}A}{l}\end{array}$

二

RL 電路

$\begin{array}{cc}& \frac{ϵ}{R}-i=\frac{ϵ}{R}{e}^{\frac{-Rt}{L}}\\ & i=\frac{ϵ}{R}(1-e^{\frac{-Rt}{L}})\end{array}$