有理数的减法

设$a$，$b$，$c$为有理数，若$c+b=a$，则称数$c$为数$a$及$b$的差。

性质

有理数的减法是定义在有理数的加法基础之上的，从逻辑角度来说，需要加以证明差的两个性质：

• 差的存在性：即数$a$及$b$的差是否存在？
• 差的唯一性：若差存在，则是否唯一？

证明

根据有理数的加法的若干性质，可以对有理数的差的存在性与唯一性进行证明。

• 先证存在性

设有理数$c=a+(-b)$，则

$c+b=a+(-b)+b=a+[(-b)+b]=a+0=a$满足差的定义

从而$c=a+(-b)$为数$a$及$b$的差。

因此有理数的差存在。

• 再证唯一性

若$c+b=a$，则两边加上-b，得

$c+b+(-b)=a+(-b)$，从而

$c+[b+(-b)]=a+(-b)$

$c+0=a+(-b)$

$c=a+(-b)$

因此，若$c$为$a$及$b$的差，则$c$必等于$a+(-b)$。

从而有理数的差存在且唯一。

记号

由于有理数的差存在且唯一，可以引入减法记号（$-$），并且$a$及$b$的差记为$a-b$。

推论

根据有理数的加法及减法的性质，可以得到一些有用的推论：

• $a-a=0$
• $0-a=-a$
• $a=-(-a)$
• $a>b\iff a-b>0$
• $a>b\iff -a<-b$，特别地，$a>0\iff -a<0$

参考

• 有理数的加法

引用

• 微积分学教程，(第一卷)(第8版)，第2、3页，ISBN 5-9221-0436-5，菲赫金哥尔茨 著，杨弢亮 叶彦谦 译，郭思旭 较，高等教育出版社