有理数的除法

对于有理数a和b，$b\ne 0$，若有理数c满足$c\cdot b=a$，则称c为a及b的商。

性质

• 存在性：若有理数$b\ne 0$，则有理数a及b的商必存在。
• 唯一性：若有理数a及b的商存在，则商必唯一。

证明

• 证明商的存在性

设有理数a和b，$b\ne 0$，则

由倒数的定义，存在b的倒数$\frac{1}{b}$，满足$b\cdot \frac{1}{b}=1$

令有理数$c=a\cdot \frac{1}{b}$，则

$c\cdot b=a\cdot \frac{1}{b}\cdot b=a\cdot 1=a$符合商的定义，

因而$c=a\cdot \frac{1}{b}$是a及b的商

即商存在

• 证明商的唯一性

若a及b的商存在，不妨设商为c，则

$c\cdot b=a$

由$b\ne 0$，两边乘以b的倒数$\frac{1}{b}$，得

$c\cdot b\cdot \frac{1}{b}=a\cdot \frac{1}{b}$

从而$c\cdot 1=a\cdot \frac{1}{b}$

$c=a\cdot \frac{1}{b}$

也就是说，若商存在，则必等于$a\cdot \frac{1}{b}$

即商是唯一的

记号

由商的存在性及唯一性，可以将其记为$a:b$，$\frac{a}{b}$或$a÷b$

参阅

• 有理数的乘法

参考文献

• 微积分学教程，(第一卷)(第8版)，第4、5页，ISBN 5-9221-0436-5，菲赫金哥尔著，杨弢亮 叶彦谦 译，郭思旭 较，高等教育出版社