高中数学/不等式与数列/等差数列

阅读指南

希望快速了解或快速回顾高中数学的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。

基础知识

知识引入

200多年前，高斯的小学数学老师在课堂上提出了下面的问题： $1 + 2 + 3 + \dots + 100 = ?$

据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，小高斯却通过巧妙的配对求和方法，算出了正确答案： $(1 + 100) + (2 + 99) + \dots + (50 + 51) = 101 \times 50 = 5050$

定义与基本概念

等差数列又称算术数列（arithmetic sequence），是相邻两项之差始终为常数的数列。等差数列相邻项的常数差值叫做公差。^[1]

如果已知等差数列 $⟨ a_{n} ⟩$ 的首项 $a_{1}$ 和公差 $d$ ，通过依次倒推的方法，可以得到等差数列的通项公式： $a_{n} = a_{n - 1} + d = (a_{n - 2} + d) + d = ((a_{n - 3} + d) + d) + d = . . . = a_{1} + (n - 1) d$

以 $a_{1}$ 为首项、 $d$ 为公差的等差数列的通项公式为^[1]： $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d, n \in ℤ^{+}$

待定系数法求等差数列的通项公式与未知量

当已知数列是等差数列，但只知道一部分量或关系式时，可以使用待定系数法设出等差数列通项的一般形式表达式，然后带入已知条件中，通过化简和比较系统确定通项公式中的未知系数。

相关例题1：若等差数列 ${a_{n}}$ 的通项公式是 $a_{n} = 2 (n + 1) + 3$ ，求这个数列的公差。

相关例题2：在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2, 2 a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ，求 $a_{101}$ 的值。

相关例题3：在等差数列 ${a_{n}}$ 中，设d为公差，求解下列问题：
(1) 已知 $a_{1} = 2, d = 3, n = 10$ ，求 $a_{n}$ 。
(2) 已知 $a_{1} = 3, a_{n} = 21, d = 2$ ，求n。
(3) 已知 $a_{1} = 12, a_{6} = 27$ ，求d。
(4) 已知 $d = - \frac{1}{3}, a_{7} = 8$ ，求 $a_{1}$ 。

如果已知条件中会出现特定数列的多个相邻项，此时为了简化计算，可以采取一些小技巧。例如当给出等差数列 ${a_{n}}$ 中的奇数个相邻项时，可以设夹在最中间的那一项为a，再以d为公差分别向2边分别设项，即将已知的几项设为 $. . ., a - 2 d, a - d, a, a + d, a + 2 d, . . .$ 的形式；类似地，当给出等差数列 ${a_{n}}$ 中的偶数个相邻项时，可以设夹在最中间的两项为 $a - d, a + d$ ，再以2d为公差向两边分别设项，即将已知的几项设为 $. . ., a - 3 d, a - d, a + d, a + 3 d, . . .$ 的形式。

相关例题4：已知成等差数列的4个数之和为26，第2个数与第3个数之积为40，求这4个数。

相关例题5：已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为165，求这5个数。

相关例题6：《九章算术》上有一道题，说已知甲、乙、丙、丁、戊这5个人分5钱（“钱”是一种古代货币计量单位），甲、乙所得之和与丙、丁、戊所得之和相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，求这5个人各得了多少钱？

相关例题7：在三角形ABC中，角A、B、C的对边长度分别为a、b、c。如果a、b、c成等差数列， $B = 3 0^{\circ}$ ，三角形ABC的面积为 $\frac{3}{2}$ ，求边b的值。

倒序相加法与等差数列前n项和公式

设 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . + a_{n}$ ，
再逆序写出各项： $S_{n} = a_{n} + a_{n - 1} + a_{n - 2} + . . . + a_{1}$ ，
将以上2式逐项相加得： $S_{n} + S_{n} = (a_{1} + a_{n}) + (a_{2} + a_{n - 1}) + (a_{3} + a_{n - 2}) + . . . + (a_{n} + a_{1})$ 。
又因为 $(a_{1} + a_{n}) = (a_{2} + a_{n - 1}) = (a_{3} + a_{n - 2}) = . . . = (a_{n} + a_{1})$ ，
所以可得（一共n组求和）： $2 S_{n} = (a_{1} + a_{n}) + (a_{1} + a_{n}) + (a_{1} + a_{n}) + . . . + (a_{1} + a_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} (a_{1} + a_{n}) = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})$ 。

以 $a_{1}$ 为首项、 $d$ 为公差的等差数列的前n项和公式为^[1]： $S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n}), n \in ℤ^{+}$
即等差数列的前n项和等于首末项的和与项数乘积的一半^[1]。此公式常以汉语口诀记为“首相加末项，乘以项数，再除以二”。

上述的求和方法叫做倒序相加法，因高斯求和的故事而闻名。

常用结论与常见模型

等差数列通项公式的变形

等差数列的常用性质

将一个等差数列的每一项都乘以同1个常数后，得到的仍然是一个等差数列。

推论：设 $f (x)$ 是一次函数， ${a_{n}}$ 是等差数列，则 ${f (a_{n})}$ 也是一个等差数列。即等差数列经过一次函数变换后的象仍然是等差数列。

相关例题1：设数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 都是等差数列，若 $a_{1} + b_{1} = 7, a_{3} + b_{3} = 21$ ，求 $a_{5} + b_{5}$ 的值。

相关例题2：在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{4} + a_{7} = 45, a_{2} + a_{5} + a_{8} = 29$ ，求 $a_{3} + a_{6} + a_{9}$ 的值。

相关例题3：已知等差数列 ${a_{n}}$ 前9项的和为27， $a_{10} = 8$ ，则 $a_{100} =$ ( )。
A.100；B.99；C.98；D.97
（出自2016年中国大陆新课标高考全国卷I第3题。）

相关例题4：已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{5} a_{6} = 4$ ，求 $\log_{2} (2^{a_{1}} \times 2^{a_{2}} \times . . . \times 2^{a_{10}})$ 的值。

相关例题5：已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，且 $a_{1} + a_{4} + a_{7} = 2 π$ ，求 $\cos (a_{3} + a_{5})$ 的值。

相关例题6：在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3$ ，且对于任意大于1的正整数n，点 $(\sqrt{a_{n}}, \sqrt{a_{n - 1}})$ 都在直线 $x - y - \sqrt{3} = 0$ 上，求 $a_{n}$ 的表达式。

相关例题7：已知数列 ${\frac{a_{n}}{n}}$ 是等差数列，且 $a_{3} = 2, a_{15} = 30$ ，求 $a_{9}$ 的值。

相关例题8：首项为 $a_{1}$ ，公差d为正整数的等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{3} + a_{5} + a_{7} = 93$ ，满足 $a_{n} > 100$ 的n的最小值是15。试求公差d和首项 $a_{1}$ 的值。

相关例题9：已知 ${a_{n}}$ 是首项为a，公差为1的等差数列。数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{1 + a_{n}}{a_{n}}$ 。若对于任意的 $n \in ℕ^{+}$ ，都有 $b_{n} \geq b_{8}$ 成立，求实数a的取值范围。

相关例题10：已知函数f(x)是定义在 $ℝ$ 上的单调递增函数且为奇函数，数列 ${a_{n}}$ 是等差数列， $a_{11} > 0$ ，则 $f (a_{9}) + f (a_{11}) + f (a_{13})$ 的值( )。
A.恒为正数
B.恒为负值
C.0
D.可正可负

相关例题11：设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为d，若数列 ${2 a_{1} a_{n}}$ 为递减数列，则( )。
A. $d < 0$
B. $d > 0$
C. $a_{1} d < 0$
D. $a_{1} d > 0$

相关例题12：设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为d。若等差数列 ${2^{a_{1} a_{n}}}$ 为递减数列，则( )。
A. $d < 0$
B. $d > 0$
C. $a_{1} d < 0$
D. $a_{1} d > 0$
（出自2014年中国大陆高考辽宁卷第8题。）

相关例题13：设 ${a_{n}}$ 是等差数列，下列结论中正确的是( )。
A.若 $a_{1} + a_{2} > 0$ ，则 $a_{2} + a_{3} > 0$
B.若 $a_{1} + a_{3} < 0$ ，则 $a_{1} + a_{2} < 0$
C.若 $0 < a_{1} < a_{2}$ ，则 $a_{2} > \sqrt{a_{1} a_{2}}$
D.若 $a_{1} < 0$ ，则 $(a_{2} - a_{1}) (a_{2} - a_{3}) > 0$
（出自2015年中国大陆高考北京卷第6题。）

等差数列前n项和公式的变形

等差数列前n项和的常用性质

等差中项

如果3个数a、b、c按顺序构成等差数列，那么b叫做a与c的等差中项，且满足 $b = \frac{a + c}{2}$ 。反过来，如果有 $b = \frac{a + c}{2}$ ，也能判断a、b、c一定构成等差数列。

相关例题1：在1和100之间插入k个数，使这k+2个数构成等差数列，求它们的公差。

相关例题2：在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 8$ ， $a_{5} = 2$ 。若在此数列中每2个相邻项之间都新插入一个数，使之成为新的等差数列，求此新数列的公差。

相关例题3：在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{9} = 10$ ，求 $a_{5}$ 的值。

相关例题4：在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} = 20$ ，求 $a_{3}$ 的值。

相关例题5：在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{4} + a_{7} = 39$ ， $a_{2} + a_{5} + a_{8} = 33$ ，求 $a_{6}$ 的值。

相关例题6：若 $\lg 2$ 、 $\lg (2^{x} - 1)$ 和 $\lg (2^{x} + 3)$ 成等差数列，求x的值。

相关例题7：已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，求m和n的等差中项。

等差数列常用判定方法

相关例题8：已知 $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ 成等差数列，求证： $\frac{b + c}{a}, \frac{c + a}{b}, \frac{a + b}{c}$ 也成等差数列。

参考解答1：由 $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ 成等差数列可知 $\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = 2 \frac{1}{b}$ ，解得 $b = \frac{2 a c}{a + c}$ 。
要证明 $b + \frac{c}{a}, c + \frac{a}{b}, a \frac{b}{c}$ 也成等差数列，只需要证明 $b + \frac{c}{a} + a \frac{b}{c} = 2 (c + \frac{a}{b})$ ，即：
$\begin{matrix} \frac{b c + c^{2} + a^{2} + a b}{a c} = \frac{2}{b} (c + a) \\ \Leftrightarrow \frac{a^{2} + b (a + c) + c^{2}}{a c} = \frac{2}{b} (c + a) \\ \Leftrightarrow \frac{a^{2} + (\frac{2 a c}{a + c}) (a + c) + c^{2}}{a c} = \frac{2}{(\frac{2 a c}{a + c})} (c + a) \\ \Leftrightarrow \frac{a^{2} + 2 a c + c^{2}}{a c} = \frac{(a + c)^{2}}{a c} \\ \Leftrightarrow a^{2} + 2 a c + c^{2} = (a + c)^{2} \end{matrix}$
上式显然成立。证明完毕。

参考解答2：已知 $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ 成等差数列，
即 $\frac{a + b + c}{a}, \frac{a + b + c}{b}, \frac{a + b + c}{c}$ 成等差数列（它们同时扩大 $a + b + c$ 倍后也成等差数列（公差也变为原来的 $a + b + c$ 倍），
即 $1 + \frac{b + c}{a}, 1 + \frac{a + c}{b}, 1 + \frac{a + b}{c}$ 成等差数列，
即 $\frac{b + c}{a}, \frac{a + c}{b}, \frac{a + b}{c}$ 成等差数列。证明完毕。

点评：参考解答2是根据已知式和待求证式的形式特点巧妙变形，并利用了等差数列的2条不同性质，才得到了更便捷的解法。

相关例题2：已知 $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ 成等差数列，并且 $a + c, a - c, a + c - 2 b$ 均为正数，求证 $\lg (a + c), \lg (a - c), \lg (a + c - 2 b)$ 也成等差数列。

证明：已知 $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ 成等差数列，所以 $\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{2}{b}$ 。
对等式两边都乘以abc，得 $b c + a b = 2 a c$ 。
$(a - c)^{2} - (a + c) (a + c - 2 b) = a^{2} - 2 a c + c^{2} - a^{2} - 2 a c + 2 b c + 2 a b - c^{2} = - 2 (2 a c - a b - b c) = 0$
这说明 $(a - c)^{2} = (a + c) (a + c - 2 b)$ 。
又因为 $a + c, a - c, a + c - 2 b$ 均为正数，所以 $\lg (a + c) + \lg (a + c - 2 b) = 2 \lg (a - c)$ 。
所以 $\lg (a + c), \lg (a - c), \lg (a + c - 2 b)$ 成等差数列。

相关例题3：已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差大于0，求满足 $a_{3} a_{4} = 117, a_{2} + a_{5} = 22$ 。
(1) 求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式。
(2) 若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{2 n^{2} - n}{n + c}$ 。判断是否存在非零实数c，使得数列 ${b_{n}}$ 为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由。

需要简单转化和整体代换的递推关系

相关例题1：已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1}^{2} = a_{n}^{2} + 4$ ，且 $a_{1} = 1, a_{n} > 0$ ，求 $a_{n}$ 的表达式。

相关例题2：已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{3}, a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2 a_{n} + 1} (n \in ℕ^{*})$ ，求 $\frac{a_{3} + a_{1005}}{a_{3} a_{1005}}$ 的值。

相关例题3：已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n} - a_{n + 1} = \frac{a_{n + 1} - 2}{n}$ ，求 $a_{10}$ 的值。

相关例题4：已知正项数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 3, \sqrt[n + 1]{a_{n + 1}} \sqrt[n]{a_{n}} = 2$ ，求 $a_{10}$ 的值。

相关例题5：在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1, 3 a_{n} a_{n - 1} + a_{n} - a_{n - 1} = 0 (n \geq 2, n \in ℕ^{*})$ 。
(1) 证明数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 是等差数列。
(2) 求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式。
(3) 若 $λ a_{n} + {\frac{1}{a}}_{n} \geq λ$ 对任意的 $n \geq 2$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围。

简单的同余性质

相关例题1：已知数列 ${a_{n}}$ 是首项为3，公差为 $d (d \in ℝ^{*})$ 的等差数列。若2019是该数列的一项，则公差不可能是( )。
A.2；B.3；C.4；D.5

相关例题2：已知在无穷等差数列 ${a_{n}}$ 中，首项 $a_{1} = 3$ ，公差 $d = - 5$ 。依次取出其中序号能被4除余3的项，组成数列 ${b_{n}}$ 。
(1) 求 $b_{1}$ 和 $b_{2}$ 的值。
(2) 求 ${b_{n}}$ 的通项公式。
(3) ${b_{n}}$ 中的第503项是 ${a_{n}}$ 中的第几项？

补充习题

若数列 ${a_{n}^{2}}$ 是等差数列，则称数列 ${a_{n}}$ 是“等方差数列”。下列判断中正确的有( )。

A.常数列是等方差数列
B.若数列 ${a_{n}}$ 是等方差数列，则数列 ${a_{n}^{2}}$ 是等差数列
C.若数列 ${a_{n}}$ 是等方差数列，则数列 ${a_{n}^{2}}$ 是等方差数列
D.若数列 ${a_{n}}$ 是等方差数列，则数列 ${a_{2 n}}$ 是等方差数列

设等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{3} + a_{7} = 36, a_{4} + a_{6} = 275$ ，且 $a_{n} a_{n + 1}$ 有最小值，求这个最小值。

已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \sqrt{a_{n}^{2} + 1} (n \in ℕ^{+})$ ，求 $a_{10}$ 的值。

已知正项数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1, (a_{n} + a_{n + 1}) (a_{n} - a_{n + 1}) = - 1$ ，求 $a_{10}$ 的值。

已知正项数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1, \frac{1}{a_{n + 1}^{2} + 1} = \frac{a_{n}^{2} + 2}{a_{n}^{2} + 1}$ ，求 $a_{10}$ 的值。

观察给出的规律，求下列数列的第100项的值：

1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, ...

参见

多阶等差数列

参考资料

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外部链接

Template:Wikipedia

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 Template:Cite book

[人教版课本2003年高中数学_等差数列-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 Template:Cite book

[1]

高中数学/不等式与数列/等差数列

目录

阅读指南

基础知识

知识引入

定义与基本概念

待定系数法求等差数列的通项公式与未知量

倒序相加法与等差数列前n项和公式

常用结论与常见模型

等差数列通项公式的变形

等差数列的常用性质

等差数列前n项和公式的变形

等差数列前n项和的常用性质

等差中项

等差数列常用判定方法

需要简单转化和整体代换的递推关系

简单的同余性质

补充习题

参见

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待定系数法求等差数列的通项公式与未知量

倒序相加法与等差数列前n项和公式

常用结论与常见模型

等差数列通项公式的变形

等差数列的常用性质

等差数列前n项和公式的变形

等差数列前n项和的常用性质

等差中项

等差数列常用判定方法

需要简单转化和整体代换的递推关系

简单的同余性质

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