國中數學/國中數學八年級/8-1 角

Template:Header2 本章節要介紹基本的平面圖形「角(angle)」。

角的分類

國小講過「角的分類」，現重新複習如下：
參見：維基百科：角的種類

• 銳角：角度介於$0$度到$90$度的角。
• 直角：角度等於$90$度的角。
• 鈍角：角度介於$90$度到$180$度的角。
• 平角：角度等於$180$度的角。
• 優角：角度介於$180$度到$360$度的角。
• 周角：角度等於$360$度的角。

一個直角

$\mathrm{\angle }a$為銳角，$\mathrm{\angle }b$為鈍角

一個周角

例子

下圖中，$\mathrm{△}ABC$為直角三角形，$\mathrm{\angle }A$、$\mathrm{\angle }B$為銳角，$\mathrm{\angle }C$為直角。
其中，$a$、$b$分別是銳角$\mathrm{\angle }A$、$\mathrm{\angle }B$的對邊，我們稱之為股；$c$是直角$\mathrm{\angle }C$的對邊，我們稱之為斜邊。

補角與餘角

參見：維基百科：補角、維基百科：餘角

一對互補角

補角

• 兩個角的度數和為$180$度時，我們稱這兩個角互補，即$\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }B=180^{\circ }$時，我們稱$\mathrm{\angle }A$、$\mathrm{\angle }B$互為補角，簡稱$\mathrm{\angle }A$與$\mathrm{\angle }B$互補。

Example：當兩個角的邊可以碰在一起形成一直線時，則這兩個角互補。(如右圖所示)

餘角

• 兩個角的度數和為$90$度時，我們稱這兩個角互餘，$\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }B=90^{\circ }$時，我們稱$\mathrm{\angle }A$、$\mathrm{\angle }B$互為餘角，簡稱$\mathrm{\angle }A$與$\mathrm{\angle }B$互餘。

Example：左圖$\mathrm{△}ABC$中，兩銳角$\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }B=90^{\circ }$，故直角三角形當中兩銳角$\mathrm{\angle }A$、$\mathrm{\angle }B$互餘。

Template:ExampleRobox已知$\mathrm{\angle }A$與$\mathrm{\angle }B$互餘，$\mathrm{\angle }B$與$\mathrm{\angle }C$互補，則：
$(1)$若$\mathrm{\angle }A$為$35^{\circ }$，則$\mathrm{\angle }B$與$\mathrm{\angle }C$分別是幾度？
$(2)$若$\mathrm{\angle }A$為$x^{\circ }$，則$\mathrm{\angle }B$與$\mathrm{\angle }C$分別是幾度？(用$x$表示) Template:Robox/Close Template:Robox $(1)$因為$\mathrm{\angle }A=35^{\circ }$，$\mathrm{\angle }B$與$\mathrm{\angle }A$互餘，代表$\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }B=90^{\circ }$，所以$\mathrm{\angle }B=90^{\circ }-\mathrm{\angle }A=90^{\circ }-35^{\circ }=55^{\circ }$；
而因為$\mathrm{\angle }B=55^{\circ }$，$\mathrm{\angle }B$與$\mathrm{\angle }C$互補，代表$\mathrm{\angle }B+\mathrm{\angle }C=180^{\circ }$，所以$\mathrm{\angle }C=180^{\circ }-\mathrm{\angle }B=180^{\circ }-55^{\circ }=125^{\circ }$。
$(2)$因為$\mathrm{\angle }A=x^{\circ }$，$\mathrm{\angle }B$與$\mathrm{\angle }A$互餘，代表$\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }B=90^{\circ }$，所以$\mathrm{\angle }B=90^{\circ }-\mathrm{\angle }A=(90-x{)}^{\circ }$；
而因為$\mathrm{\angle }B=(90-x{)}^{\circ }$，$\mathrm{\angle }B$與$\mathrm{\angle }C$互補，代表$\mathrm{\angle }B+\mathrm{\angle }C=180^{\circ }$，所以$\mathrm{\angle }C=180^{\circ }-\mathrm{\angle }B=[180-(90-x){]}^{\circ }=(90+x{)}^{\circ }$。
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對頂角

參見：維基百科：對頂角

對頂角

兩直線交於一點會形成$4$個角，其中不相鄰的兩個角我們稱為對頂角。
如右圖，$\mathrm{\angle }A$與$\mathrm{\angle }B$互為對頂角；$\mathrm{\angle }C$與$\mathrm{\angle }D$互為對頂角。

• 兩個角互為對頂角，則這兩個角度數相同。
• 另外要注意的是，要兩直線有交點才會形成兩組對頂角，如果不共線的話就不會有對頂角。

Template:ExampleRobox如右圖，已知兩直線相交於一點，而且$\mathrm{\angle }1=(3x+8{)}^{\circ }$，$\mathrm{\angle }3=(6x-22{)}^{\circ }$，則$\mathrm{\angle }2$為幾度？

Template:Robox/Close Template:Robox ∵兩直線相交於一點，∴$\mathrm{\angle }1$與$\mathrm{\angle }3$為對頂角，
即$3x+8=6x-22$，可以解出$x=10$，
所以$\mathrm{\angle }1$為$3\times 10+8=30+8=38$度，$\mathrm{\angle }2=180^{\circ }-\mathrm{\angle }1=180^{\circ }-38^{\circ }=142^{\circ }$。 Template:Robox/Close

角平分線

參見：維基百科：平分線
如下圖所示，若射線$OP$將一個角$\mathrm{\angle }AOB$分成$2$個相同角度大小的角$\mathrm{\angle }AOP$與$\mathrm{\angle }BOP$，則稱射線$OP$為$\mathrm{\angle }AOB$的角平分線。

射線OP為∠AOB的角平分線

平分後的角與原角的度數關係

若射線$OP$為$\mathrm{\angle }AOB$的角平分線，則$\mathrm{\angle }AOP=\mathrm{\angle }BOP=\frac{1}{2}\mathrm{\angle }AOB$。

• 若直線$L$上從左而右依序有三點$A$、$B$、$C$，$O$為線外一點且$\overline{OB}$垂直直線$L$，則$\overline{OB}$為平角$\mathrm{\angle }ABC$的角平分線。

優角

優角即為介於180度到360度的角度。 Template:ExampleRobox如果我們在一個圓中取一個圓心$O$點，再畫OA、OB兩條射線。
$(1)$若銳角$\mathrm{\angle }AOB$為$50^{\circ }$，則其優角是幾度？
$(2)$若鈍角$\mathrm{\angle }AOB$為$110^{\circ }$，則其優角是幾度？ Template:Robox/Close Template:Robox $(1)$因$\mathrm{\angle }AOB$為$50^{\circ }$，周角為$360^{\circ }$，所以優角＝360°－50°＝310°。
$(2)$因$\mathrm{\angle }AOB$為$110^{\circ }$，周角為$360^{\circ }$，所以優角＝360°－110°＝250°。 Template:Robox/Close

複習條目

• 平面圖形

未來要學習的

• 尺規作圖：角平分線
• 內角與外角
• 角平分線的性質