訊號與系統/訊號的大小

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訊號的大小

$\bullet$ 訊號的大小可以用訊號的總能量(total energy)或平均功率(average power)來表示 。

$\bullet$ 假設 : 負載為1歐姆電阻的訊號 $𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}$ 。

$\bullet$ 訊號的總能量

  $\star$ 實數訊號 :     ${𝑬}_{𝒙}$=$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2(t)dt$

  $\star$ 複數訊號 :     ${𝑬}_{𝒙}$=$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\left|x(t)\right|}^{2}dt$

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訊號的大小

$\bullet$ 訊號的平均功率 : 訊號的總能量除以總時間 。

  $\star$ 實數訊號 :      ${𝑷}_{𝒙}$ = $\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{T}$$\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{\frac{T}{2}}{\int }}{x}^2(t)dt$

  $\star$ 複數訊號 :      ${𝑷}_{𝒙}$ = $\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{T}$$\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{\frac{T}{2}}{\int }}{\left|x(t)\right|}^{2}dt$

$\bullet$ ${𝑷}_{𝒙}$ 是$𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}$的均方值(meam-square value)

  $\Rightarrow$ $\sqrt{P_x}$ 是$𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}$的均方根值(rms,root meam-square value)

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範例1.1

試以總能量或平均功率表示(a) . (b)兩訊號的大小 。

                                   圖出處 © B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

【解】

   當 $\left|t\right|$ $\to$ $\mathrm{\infty }$ 訊號(a)的大小趨近為 $0$ 。所以可用總能量來表示 :
          
          
          $E_x=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2(t)dt=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}{2}^{2}dt+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}4e^{-t}dt=4+4=8$ 

因為訊號 (b) 為週期訊號，總能量 $\to$ $\mathrm{\infty }$ 故用平均功率來表示  :

$P_x=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{T}\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{\frac{T}{2}}{\int }}{x}^2(t)dt=\frac{1}{T}\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{\frac{T}{2}}{\int }}{x}^2(t)dt=\frac{1}{2}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{x}^2(t)dt=\frac{1}{2}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{t}^{2}dt=\frac{1}{3}$
                         $\Downarrow$
                
                 因為週期訊號同樣的波形一再重複出現，
                   故只積分一個週期即可。

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範例1.2

計算訊號 $𝐲\mathbf{(}𝐭\mathbf{)}$ = $A{e}^{j2\pi f_{0}t}$ 的平均功率 。

【解】

    因為    $y(t+\frac{1}{f_0})=A{e}^{j2\pi f_0(t+\frac{1}{f_0})}$
                      = $A{e}^{j2\pi f_{0}t}$$e^{j2\pi f_0(\frac{1}{f_0})}$
                     
                    = $A{e}^{j2\pi f_{0}t}$ $e^{j2\pi }$
     
                    = $A{e}^{j2\pi f_{0}t}$
    
                    = $𝐲\mathbf{(}𝐭\mathbf{)}$
   
    所以是一個週期訊號 。  

     故其平均功率為 :
                 $P_y=f_0\underset{t_1}{\overset{t_1+(\frac{1}{f_0})}{\int }}{\left|A{e}^{j2\pi f_{0}t}\right|}^{2}dt$
                    
                    = ${𝒇}_0$$\underset{t_1}{\overset{t_1+(\frac{1}{f_0})}{\int }}{A}^{2}dt$
                      
                    = ${𝑨}^2$

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