國中數學/國中數學八年級/2-1 二次方根的意義

本單元將介紹二次方根。部分內容需要用到第一冊2-5 指數律。

正方形面積與邊長

完全平方數

圖一。面積為$1,4,9,16c{m}^2$的正方形。

圖一為4個面積分別為$1,4,9,16c{m}^2$的正方形，邊長分別為$1,2,3,4cm$。
因為$1,4,9,16$都是一個整數的平方，也就是可以被寫成$n^2$($n$為正整數)的形式，所以這些數被稱為「完全平方數」。若一正方形的面積是完全平方數，則其邊長必為一個正整數。

根號

那假如今天有一個正方形面積為$2,3,5,6,7$而不是完全平方數，其邊長應該怎麼表示呢？所以$\sqrt{}$就在這時出現了。
當有一個正方形面積為$a$，其邊長就是$\sqrt{a}$(讀作「根號$a$」)；當有一個正方形邊長是$\sqrt{a}$，其面積就為$(\sqrt{a}{)}^2=a$。
如面積為$2$的正方形，其邊長就為$\sqrt{2}$；邊長為$\sqrt{15}$的正方形，其面積就為$15$。

根號a

以指數表示根號a

$\sqrt{a}$其實是可以用指數來表示的，為$\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}(a>0)$。
證明：
$\begin{array}{cc}& \text{令 }\sqrt{a}=m,a^{\frac{1}{2}}=n(a>0)\\ & \Rightarrow (\sqrt{a}{)}^2=m^2,(a^{\frac{1}{2}}{)}^2=n^2\\ & \Rightarrow \sqrt{a}\times \sqrt{a}=m^2,a^{\frac{1}{2}\times 2}=n^2\\ & \Rightarrow a=m^2,a=n^2\\ & \Rightarrow m=n\\ & a>0\text{ 則 }\sqrt{a}\text{ 及 }{a}^z\text{ 皆 大 於 零 }\end{array}$

(根號a)的平方

根據上述的推論以及指數律，
$(\sqrt{a}{)}^2=(a^{\frac{1}{2}}{)}^2=a^{\frac{1}{2}\times 2}=a^1=a$

根號(a的平方)

同樣根據上述的推論以及指數律，
$\sqrt{a^2}=(a^2{)}^{\frac{1}{2}}=a^{2\times \frac{1}{2}}=a^1=a$