國中數學/國中數學八年級/1-2 多項式的加減運算

Template:Header2 本章節要來談談數學上很常使用的基本式子：多項式(polynomial)，並且談談它們的加減運算模式。它們的乘除模式留到下一節1-3 多項式的乘除運算講解。

多項式

在一個式子中，若文字符號(通常是 $x$ )與數字只利用加法與乘法做運算而得，那這樣的式子我們稱為多項式。例如： $x^{2} + 3$ 是由 $x \times x + 3$ 得到的式子，所以它是一個多項式； $x^{2} - 3$ 是由 $x \times x + (- 3)$ 得到的式子，它也是一個多項式。而依此定義，事實上 $x^{2} y^{3} + z = x \times x \times y \times y \times y + z$ 也是多項式，不過在中學階段，只會學習含有一個文字符號的多項式^{[註 1]}。

多項式的判別

多項式是一個式子，所以多項式本身沒有等號。
- $x^{2} + 3 = 7$ 不是多項式。
文字符號不能出現在分母，因為它用到了除法^{[註 2]}。可是文字符號可以出現在分子，因為我們在七年級上學期3-1 一元一次式有提到axb=abx，它是一個乘法運算。
- $\frac{5}{x}$ 、 $\frac{5 x^{3} + 7}{2 x}$ 不是多項式，但 $\frac{x}{5}$ 、 $\frac{5 x^{3} + 7}{2}$ 是。
文字符號不能出現在絕對值內。但如果絕對值內沒有未知數的話也是可以的。
- $| x - 4 |$ 、 $| x | - 4$ 不是多項式，但 $x - | 4 |$ 是多項式。
文字符號不能出現在次方。另外未知數的次方要是正整數或0。
- $3^{x}$ 、 $x^{0.3}$ 不是多項式。
文字符號不能出現在根號內^{[註 3]}。
- $\sqrt{6 x}$ 不是多項式。

多項式的名詞

接下來介紹多項式的相關名詞。在底下的介紹若沒有特別說明，我們都是以多項式 $3 x^{2} - 5 x + 7$ 為例子。

項：多項式當中，使用加號（＋）分開的各部分。
- 在例子 $3 x^{2} - 5 x + 7$ 中， $3 x^{2} - 5 x + 7 = 3 x^{2} + (- 5 x) + 7$ ，所以 $3 x^{2} - 5 x + 7$ 有三個項： $3 x^{2}$ 、 $- 5 x$ 、 $7$ 。
- 對於項的辨識，作者建議學生將前面的「運算符號( $+$ 與 $-$ )」都視為「性質符號」。對於這兩個名詞陌生的同學，請參考國中七年級 1-1 正數與負數的內容。
單項式(monomial)：只有一個項的多項式^{[註 4]}。
- $3 x^{2}$ 、 $- 5 x$ 、 $7$ 都是單項式。
次數：多項式的所有項當中，文字符號次數最大的數字。
- 在例子 $3 x^{2} - 5 x + 7$ 中，所有項次數最大的是 $3 x^{2}$ ，它是二次方，所以次數為 $2$ 。
- 次數會記錄為 $d e g$ (多項式)，如 $d e g (3 x^{2} - 5 x + 7) = 2$ 。
係數：每一項出現的數字部分。
- 在例子 $3 x^{2} - 5 x + 7$ 中，各項係數為 $3$ 、 $- 5$ 、 $7$ 。
- 各個項的係數可以直接稱呼「 $x$ 的幾次方項係數」，也可以省略稱呼為「幾次項係數」。如 $3 x^{2} - 5 x + 7$ 的 $x^{2}$ 項係數是 $5$ ，也可以說二次項係數為 $5$ 。
- 沒有文字符號的項稱作常數項(constant term)。
- 若多項式沒有某一項，則稱該項係數為 $0$ 。如 $3 x^{2} - 5 x + 7$ 沒有 $x^{3}$ 項，所以 $x^{3}$ 項係數是 $0$ 。
常數多項式：任何一個數字。如：7、0、4.91、−37、圓周率π。
- 【課外補充】其中如果不是 $0$ 的任意數，我們稱作零次多項式；若此多項式為 $0$ ，我們稱作零多項式。
升冪排列：將多項式的項依照次方數由小到大排列。
降冪排列：將多項式的項依照次方數由大到小排列。是最常使用的排列方式。
- $3 x^{2} - 5 x + 7$ 為降冪排列，因為次數從 $2$ 降到 $0$ ；而此多項式的升冪排列為 $7 - 5 x + 3 x^{2}$ 。

Template:ExampleRobox 有一個多項式為 $5 x - 3 x^{5} + 2 x^{2} - 7$ ，請問：

此多項式總共有幾項？
此多項式各項係數是多少？
此多項式為幾次多項式？
此多項式的升冪排列與降冪排列為何？

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此多項式總共有 $4$ 項，它們分別是 $5 x$ 、 $- 3 x^{5}$ 、 $2 x^{2}$ 、 $- 7$ 。
各項係數依序為 $x^{5}$ 項係數為 $- 3$ ； $x^{2}$ 項係數為 $2$ ； $x$ 項係數為 $5$ ，常數項為 $- 7$
最高次方為 $5$ ，所以是五次多項式。
此多項式的升冪排列為 $- 7 + 5 x + 2 x^{2} - 3 x^{5}$ ，降冪排列為 $- 3 x^{5} + 2 x^{2} + 5 x - 7$ 。

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隨堂練習

有一個多項式為 $2 - 4 x^{3} - 2 x^{2}$ ，請問：

此多項式總共有幾項？
此多項式 $x$ 項係數是多少？
此多項式為幾次多項式？
此多項式的升冪排列與降冪排列為何？^{[解答 1]}

多項式的加法

多項式的加法運算方式就是同類項合併，搭配去括號規則，可以使用橫式計算也可以使用直式計算。

而介紹同類項合併之前，介紹一下何謂「同類項」：

 同類項：兩個單項式中，其未知數相同，未知數的次方數也相同。

根據這個定義，以下是幾個例子：

$x + 3$ 與 $2 x - 3$ 不是同類項，因為它們不是單項式。
$4 x$ 與 $4 y$ 不是同類項，因為未知數不相同。
$4 x^{2}$ 與 $5 x^{3}$ 不是同類項，因為未知數的次方數不相同。
$7 x^{2} y$ 與 $- \frac{3}{5} x^{2} y$ 是同類項，因為未知數相同，未知數的次方數也相同。
$7 x^{2} y$ 與 $- \frac{3}{5} x y^{2}$ 不是同類項，因為雖然未知數相同，但未知數 $x$ 的次方數不相同， $y$ 的次方數也不相同。
任意兩個常數都是同類項，如圓周率 $π$ 與 $\frac{15}{7}$ 。

接下來就是同類項合併的主要公式了，這裡的 $a$ 與 $b$ 都是常數， $X$ 可以是任意形式的單項式(只要是相同的即可)：

$a X + b X = (a + b) X$
$a X - b X = (a - b) X$

底下來做一個練習： Template:ExampleRobox 化簡下列各式：

$(- 7 y) + 12 y$
$(- 11 a^{2} b^{3}) - 5 a^{2} b^{3}$

Template:Robox/Close Template:Robox

$(- 7 y) + 12 y = [(- 7) + 12] y = 5 y$ 。
$(- 11 a^{2} b^{3}) - 5 a^{2} b^{3} = [(- 11) - 5] a^{2} b^{3} = - 16 a^{2} b^{3}$ 。

Template:Robox/Close 在上面的例題 $2$ 的第1題中， $X = y$ ；第2題中， $X = a^{2} b^{3}$ 。

隨堂練習

化簡下列各式：

$(- 13 x) + (- 15 x)$
$7 x y^{2} - (- 5 x y^{2})$
$13 x - x$ ^{[解答 2]}

接下來練習比較複雜的例子： Template:ExampleRobox 化簡下列各式，答案使用降冪排列表示：

$2 y^{2} + 3 y - 4 + 5 y^{2} + 6 y + 7$
$7 x - 8 x^{2} + 10 x - 9 x^{2} + 2 - 7$

Template:Robox/Close Template:Robox $\begin{matrix} 1 . & 2 y^{2} + 3 y - 4 + 5 y^{2} + 6 y + 7 \\ = (2 + 5) y^{2} + (3 + 6) y + [(- 4) + 7] \\ = 7 y^{2} + 9 y + 3 \end{matrix}$
$\begin{matrix} 2 . & 7 x - 8 x^{2} + 10 x - 9 x^{2} + 2 - 7 \\ = [(- 8) - 9] x^{2} + (7 + 10) x + (2 - 7) \\ = - 17 x^{2} + 17 x - 5 \end{matrix}$ Template:Robox/Close

隨堂練習

化簡下列各式：

$- x^{2} + 3 x - 4 + 5 x^{2} - 6 x + 12$
$5 a^{2} + 7 - 4 a^{2} + 9 a - 5 - 9 a$
$13 y^{2} + 11 y - 12 + 15 - 10 y - 13 y^{2}$ ^{[解答 3]}

接下來練習兩個多項式相加的運算。 Template:ExampleRobox 化簡下列各式，答案使用降冪排列表示：

$(7 y^{2} - 8 y - 12) + (- 5 y^{2} - 4 y + 7)$
$(23 x - 14 x^{2} + 19) + (18 x^{2} + 12 - 11 x)$

Template:Robox/Close Template:Robox $\begin{matrix} 1 . & (7 y^{2} - 8 y - 12) + (- 5 y^{2} - 4 y + 7) \\ = 7 y^{2} - 8 y - 12 - 5 y^{2} - 4 y + 7 \\ = (7 - 5) y^{2} + [(- 8) - 4)] y + [(- 12) + 7] \\ = 2 y^{2} + (- 12) y + (- 5) = 2 y^{2} - 12 y - 5 \end{matrix}$
$\begin{matrix} 2 . & (23 x - 14 x^{2} + 19) + (18 x^{2} + 12 - 11 x) \\ = 23 x - 14 x^{2} + 19 + 18 x^{2} + 12 - 11 x \\ = [(- 14) + 18] x^{2} + (23 - 11) x + (19 + 12) \\ = 4 x^{2} + 12 x + 31 \end{matrix}$ Template:Robox/Close 隨堂練習

計算下列各式：

$(- 4 x^{2} + 9 x + 12) + (11 x^{2} - 9 x + 5)$
$(5 a^{2} + 7) + (- 4 a^{2} + 9 a - 5)$
$(13 y^{3} + 11 y^{2} - 12 y + 15) + (7 + 10 y - 11 y^{2} - 13 y^{3})$ ^{[解答 4]}

我們注意到上面隨堂練習的第3小題， $13 y^{3} + 11 y^{2} - 12 y + 15$ 與 $7 + 10 y - 11 y^{2} - 13 y^{3}$ 都是三次多項式，但是加起來的結果卻是一次式 $- 2 y + 22$ 。事實上，兩個同次數的多項式相加，答案的次數可能會少於原本的次數。那如果我們確定兩個相加的多項式次數不相同的時候，得到的和會發生什麼事呢？ Template:ExampleRobox 設多項式 $A = 5 x^{2} + 7 x - 4$ ，多項式 $B = 2 x^{3} - 6 x^{2} - 3$ ，則：

多項式 $A$ 與多項式 $B$ 的次數各為何？
計算 $A + B$ 。 $A + B$ 的次數是多少？

Template:Robox/Close Template:Robox

多項式 $A$ 的次數為 $2$ 次，多項式 $B$ 的次數為 $3$ 次。
計算A+B的過程如下所示：
- $\begin{matrix} A + B & = (5 x^{2} + 7 x - 4) + (2 x^{3} - 6 x^{2} - 3) \\ = 5 x^{2} + 7 x - 4 + 2 x^{3} - 6 x^{2} - 3 \\ = 2 x^{3} + (5 - 6) x^{2} + 7 x + [(- 4) + (- 3)] \\ = 2 x^{3} + (- 1) x^{2} + 7 x + (- 7) = 2 x^{3} - x^{2} + 7 x - 7 \end{matrix}$
- $A + B$ 的次數為 $3$ 次。

Template:Robox/Close 在上面這個例子，我們發現：最高次方的係數是無法「被撼動的」，所以當兩個次數不同的多項式相加，其結果的次數跟次數比較大的多項式相同。
隨堂練習
設多項式 $A = x^{2} - 4 x + 5$ ，多項式 $B = 9 x - 3$ ，則：

多項式 $A$ 與多項式 $B$ 的次數各為何？
計算 $A + B$ 。 $A + B$ 的次數是多少？^{[解答 5]}

多項式的減法

多項式的減法運算方式與多項式的加法運算類似，只是在去括號規則的地方要注意變號的問題。

註解

↑ 唯一的例外是二元一次式。
↑ 如果未知數出現在式子的分母，這樣的式子我們稱之為分式，這是高中會習得的教材。
↑ 關於根號，請見2-1 二次方根的意義。
↑ 課外參考資料：維基百科：單項式。

習題解答

↑

1. $3$ 項。

2. $0$ 。

3. $3$ 次多項式。

4.升冪排列為 $2 - 2 x^{2} - 4 x^{3}$ ；降冪排列為 $- 4 x^{3} - 2 x^{2} + 2$ 。
↑

1. $- 28 x$

2. $12 x y^{2}$

3. $12 x$
↑

1. $4 x^{2} - 3 x + 8$

2. $a^{2} + 2$

3. $y + 3$
↑

1. $7 x^{2} + 17$

2. $a^{2} + 9 a + 2$

3. $- 2 y + 22$
↑
1. 多項式 $A$ 的次數為 $2$ 次，多項式 $B$ 的次數為 $1$ 次。
2. $A + B = x^{2} + 5 x + 2$ ， $A + B$ 的次數為 $2$ 次。

[1] 唯一的例外是二元一次式。

[2] 如果未知數出現在式子的分母，這樣的式子我們稱之為分式，這是高中會習得的教材。

[3] 關於根號，請見2-1 二次方根的意義。

[4] 課外參考資料：維基百科：單項式。

[5] 

1. $3$ 項。

2. $0$ 。

3. $3$ 次多項式。

4.升冪排列為 $2 - 2 x^{2} - 4 x^{3}$ ；降冪排列為 $- 4 x^{3} - 2 x^{2} + 2$ 。

[6] 

1. $- 28 x$

2. $12 x y^{2}$

3. $12 x$

[7] 

1. $4 x^{2} - 3 x + 8$

2. $a^{2} + 2$

3. $y + 3$

[8] 

1. $7 x^{2} + 17$

2. $a^{2} + 9 a + 2$

3. $- 2 y + 22$

[9] 
多項式 $A$ 的次數為 $2$ 次，多項式 $B$ 的次數為 $1$ 次。

$A + B = x^{2} + 5 x + 2$ ， $A + B$ 的次數為 $2$ 次。

[10] 多項式 $A$ 的次數為 $2$ 次，多項式 $B$ 的次數為 $1$ 次。

[11] $A + B = x^{2} + 5 x + 2$ ， $A + B$ 的次數為 $2$ 次。

[12] 多項式 $A$ 的次數為 $2$ 次，多項式 $B$ 的次數為 $1$ 次。

[13] $A + B = x^{2} + 5 x + 2$ ， $A + B$ 的次數為 $2$ 次。

[註 1]

[註 2]

[註 3]

[註 4]

[解答 1]

[解答 2]

[解答 3]

[解答 4]

[解答 5]

國中數學/國中數學八年級/1-2 多項式的加減運算

目录

多項式

多項式的判別

多項式的名詞

多項式的加法

多項式的減法

註解

習題解答

导航菜单

1. $3$ 項。
2. $0$ 。
3. $3$ 次多項式。
4.升冪排列為 $2 - 2 x^{2} - 4 x^{3}$ ；降冪排列為 $- 4 x^{3} - 2 x^{2} + 2$ 。

1. $- 28 x$
2. $12 x y^{2}$
3. $12 x$

1. $4 x^{2} - 3 x + 8$
2. $a^{2} + 2$
3. $y + 3$

1. $7 x^{2} + 17$
2. $a^{2} + 9 a + 2$
3. $- 2 y + 22$

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