高中数学（重制版）/集合论

集合是近代数学最基本的概念。本章首先介绍集合论的公理系统。不过这个系统近来已被证明是不完备的，所以对这里所采取的出发点做了必要的说明。其次介绍集合论本身的主要内容——序数与基数理论。

集合

集合的定义

朴素集合论

一些事物的全体叫做一个集合，这些事物中的每一个，都称为这个集合的元素。如果某种事物只有一个，这个事物记作$a$，那么称这种事物的全体是集合$\{a\}$，$a$是$\{a\}$的唯一元素。如果某种事物不存在，就称这种事物的全体是空集。规定任何空集都是同一个集合，记作$\varnothing$。任何事物都不是$\varnothing$的元素。每一个集合都是一个事物。

假定$a$是集合$A$的元素，记作$a\in A$或$A\ni a$，“$\in$”读作“属于”，“$\ni$”读作“包含”。假定$a$不是$A$的元素，记作$a\notin A$或$A\ni ̸a$，“$\notin$”读作“不属于”，“$\ni ̸$”读作“不包含”。

$\{a\}$和$a$一般是不同的概念，比如$\{\varnothing \}$有一个唯一的元素$\varnothing$，但是$\varnothing$没有元素。$\in$和$\notin$在逻辑上是彼此相否定（非）的，换句话说，假定$a$是一个事物，$A$是一个集合，那么$a\in A$和$a\notin A$不能都成立，也不能都不成立。假定$A$和$B$都是集合，如果任何一个事物属于$A$也一定属于$B$，属于$B$也一定属于$A$，那么$A$和$B$是同一个集合，或称两个集合$A$和$B$相等，记作$A=B$。

假定有一些事物，全部写出来是$a,b,c,\cdots$，那么由定义，它们的全体是一个集合，这个集合可以记成$\{a,b,c,\cdots \}$。元素符号的次序和重复都无关实质，比如$\{a,b\}=\{b,a\}=\{a,b,a\}$。由定义，$\varnothing$是一个集合，而集合是一个事物，所以下列的事物都是集合：$\{\varnothing \}$，$\{\{\varnothing \},\varnothing \}$，$\{\{\{\{\varnothing \}\},\{\varnothing \}\},\{\varnothing \}\}$，又例如，零和正整数可以定义如下：$0=\varnothing$，$1=\{0\}=\{\varnothing \}$，$2=\{0,1\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}$，$3=\{0,1,2\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\}$，$4=\{0,1,2,3\}$，$\cdots \cdots \cdots \cdots$。

族是集合的同义词。在某些情况，比如一个集合$a$的元素都是集合的时候，为了避免混淆，也把$a$叫做一个族或者一个集族。虽然在现代集合论模型中，任何一个集合的元素都是集合（因为不考虑非集合的“事物”），但是有时使用“族”这个称呼可以表达得更清楚。族有时也当量词用。例如把属于一个集族的全部集合说成“一族集”。

罗素悖论

上面已经用例子说明怎样用列举元素的办法来表示一个集合。但是当一个集合的全部元素无法列举的时候，这个集合应该怎样表示呢？在集合论发展的初期，流行的习惯是把一个集合说成是“所有满足某条件的事物的全体”。如果把“某个事物$x$满足某条件”这句话表示成一个逻辑公式$p(x)$，那么按照所说的这种习惯表示法，一个集合可以记成$\{x\mid p(x)\}$或$\{x:p(x)\}$（所有使$p(x)$成立的$x$的全体）。一般往往认为只要所说的条件是明确的，也就是对任何$x$，$p(x)$和$\mathrm{\neg }p(x)$（非$p(x)$，就是$p(x)$的否定）有一个且只有一个成立，那么这种表示法是没有问题的。可是实际上并不如此。下面举著名的罗素悖论当例子：

设$z=\{x\mid x\notin x\}$。如果$z$是集合，那么$z$也是事物，因此$z\in z$和$z\notin z$不能都成立。假定$z\in z$，那么$z$应该满足所说的条件$x\notin x$，因此$z\notin z$，自相矛盾。假定$z\notin z$，那么$z$已经满足所说的条件$x\notin x$，因此$z\in z$，又自相矛盾。这就叫罗素（Russell）悖论。

根据“$\in$和$\notin$在逻辑上是彼此相否定（非）的，换句话说，假定$a$是一个事物，$A$是一个集合，那么$a\in A$和$a\notin A$不能都成立，也不能都不成立。”，$a$不是集合。因此罗素悖论实际上是错误地假设“$a$是集合”引起的。除了这个形式逻辑上的理由外，由罗素悖论还可作更深入的解释，但是有个根本的问题不好解决，既然$a$不是集合，那么别的$a$可以算作集合吗？

为了回答这个问题，集合的概念必须进一步精密化，因此下面介绍公理系统。

ZFC公理系统与NBG公理系统

目前集合论公理系统有两种形式，一种是策梅洛-弗兰克尔（Zermelo-Fraenkel）形式，简称ZFC；另一种是冯·诺伊曼-博内斯-哥德尔（von Neumann–Bernays–Gödel）形式，简称NBG。这里采用ZFC公理系统。

ZFC包括九个公理（有三个显然包含在前面集合的定义和定义的注释中），它们是

外延公理：假定$A$和$B$都是集合，如果任何一个事物属于$A$也一定属于$B$，属于$B$也一定属于$A$，那么$A$和$B$是同一个集合，或称两个集合$A$和$B$相等，记作$A=B$。

空集公理：存在一个不包含任何元素的集合。

配对公理：对任何事物$x$和$y$，存在一个集合$\{x,y\}$，$\{x,y\}$的仅有元素是$x$和$y$。

正则公理：任何一个不空的集合$A$一定包含一个元素$a$，$A$的任何一个元素都不是$a$的元素。

由正则公理可以知道，对任何集合$a$来说，$a$和$\{a\}$是不同的。这是因为如果$a=\{a\}$，那么$\{a\}$就不符合正则公理。

ZFC的其余五个公理是替代公理，幂集公理，并集公理，无穷公理，选择公理。它们分别在各有关节里详细说明。总的来说，这些公理用比较精密的形式规定了集合有哪些。但这个公理系统不能证明自己不矛盾，同时它也没有把集合论所必需的所有集合都规定在内。因此这个系统未能成功地取代朴素集合论。后面将采用如下的出发点：假设这五个公理所规定的集合是符合前面朴素集合论和定义的注释的。除了元素可以全部列举的集合以外，只考虑上述公理所规定的集合。

映射、集合的一般表示法、指标集

假定$x$和$y$都是事物，那么$⟨x,y⟩=\{\{x,1\},\{y,2\}\}$称为由$x$和$y$结成的有序对，$x$和$y$分别称为$⟨x,y⟩$的左投影和右投影。有序对是针对无序对说的。可以看到$⟨x^{\prime },y^{\prime }⟩=⟨x,y⟩$的充分必要条件是：$x^{\prime }=x$且$y^{\prime }=y$，而无序对跟元素先后次序无关。

替代公理：假定$X$是一个集合，如果对每个$x\in X$作为左投影，都有一个且只有一个$y$与$x$结成有序对$⟨x,y⟩$，那么所有这种有序对的右投影$y$的全体是一个集合$Y$。把每个$⟨x,y⟩$看作有序对$⟨x,⟨x,y⟩⟩$的右投影，再一次应用替代公理，就可以看到所有这种有序对$⟨x,y⟩$的全体也是一个集合。

假定$X$是一个集合，如果对每个$x\in X$作为左投影，都有一个且只有一个$y$与$x$结成有序对$⟨x,y⟩$，其右投影$y$的全体记作$Y$（是一个集合），那么所有这种有序对$⟨x,y⟩$的全体是一个集合$f$，这时称$f$为把$X$映上$Y$的映射，或$f$为从$X$到$Y$的满射，$X$称为在映射$f$下$Y$的的原象，$Y$称为在映射$f$下$X$的象，记作$Y=F(X)$。一般，假定$⟨x,y⟩\in f$，那么记作$y=f(x)$，$x$称为在映射$f$下$y$的原象，$y$称为在映射$f$下$x$的象。

由定义，一个映射的每个原象都只有一个象（单值性），但是一个象不一定只有一个原象。如果特别每个象也都只有一个原象，那么称$f$是单射，如果特别$f$是满射，那么称$f$是双射。在双射$f$下，可以得到一个从$Y$到$X$的映射$f^{-1}$，$f^{-1}$称为$f$的逆映射。如果$f(x)=y$，那么$f^{-1}(y)=x$。

假定有一个从集合$H$到$X$的双射，那么$X$是一个集合，如果把每个原象$h$（$\in H$）的象记作$x_h$（$\in X$），把$X$记作$X=\{x_h\mid h\in H\}$，那么$H$称为$X$的指标集，每个$h$称为$x_h$的指标。反过来，一个集合总有指标集。因为至少它自己就可以看作自己的指标集。因此这种表示法是普遍使用的。以后应用这种记号的时候不一定再说明$H$是指标集，只要规定这种记号里写在$H$位置上的必定是指标集。

公理系统规定的集合

规定$A$和$B$都是集合，$B$的每个元素都是$A$的元素，那么称$B$为$A$的一个子集，记作$B\subseteq A$或$A\supseteq B$。“$\subseteq$”读作“包含于”，“$\supseteq$”读作“包含”。对于任何集合$A$，$B$和$C$有$A\subseteq A$（自反性），$A\subseteq B,B\subseteq A\Rightarrow A=B$（反对称性），$A\subseteq B,B\subseteq C\Rightarrow A\subseteq C$（传递性），假定$B\subseteq A$但是$B\ne A$，那么称$B$为$A$的一个真子集，记作$B\subset A$。规定空集$\varnothing$是任何集合的子集。

假定一个映射$a$把一个集合$a$映上集合$a$的一个子集，那么称$a$为把$a$映入$a$的映射。满射是映射的特殊情况。

分类公理：假定有一个映射$f$把一个集合$X$映入$\{0,1\}$，那么$1$的所有原象的全体是$X$的一个子集$X^{\prime }$，$f$称为$X^{\prime }$的特征函数。分类公理是替代公理的结论，因为如果$1$的原象全体是$\varnothing$，那么$\varnothing$当然是$X$的子集，否则$1$至少有一个原象$x_0\in X$，构造一个映射$g(x)=\{\begin{array}{ccc}{x}_0& ,& f(x)=0\\ x& ,& f(x)=1\end{array}$，那么$g(X)=X^{\prime }$，所以$X^{\prime }$是集合。推论：假定$X$是集合，对每个$x\in X$，命题$p(x)$和$\mathrm{\neg }p(x)$一定有且只有一个成立，那么$\{x\mid x\in X\wedge p(x)\}$是一个集合。

假定$A$和$B$都是集合，那么所有属于$A$但不属于$B$的元素的全体是一个集合（由分类公理的推论），称为$A$和$B$的差集，记作$A\setminus B$。特别，当$B\subseteq A$时，$A\setminus B$称为$B$在$A$中的补集。

幂集公理：一个集合$A$的所有子集的全体是一个集合，记作$A^{}2$，称为$A$幂集。可以把$A^{}2$双射到“所有把$A$映入$2=\{0,1\}$的映射的全体”。所以后者也是一个集合，这个集合和$A$幂集可以互相作为彼此的指标集。今后，往往把它们看作同一个集合，也就是把$A$的一个子集跟它的一个特征函数混同起来。

并集公理：假定$\{A_h\mid h\in H\}$是一个集族，那么$\{x\mid \mathrm{\exists }{A}_h\ni x\}$是一个集合，它称为这族集合的并集，记作$\bigcup _{h\in H}{A}_h$。当一个集族的全部集合是$A,B,C,\cdots$时，这族集合的并集可写成$A\cup B\cup C\cup \cdots$。例：$\{1,2,3\}\cup \{0,2,4\}\cup \{2,1\}=\{0,1,2,3,4\}$。

假定$\{A_h\mid h\in H\}$是一个集族，那么$\{x\mid \mathrm{\forall }{A}_h\ni x\}$是一个集合，它称为这族集合的交集，记作$\bigcap _{h\in H}{A}_h$。交集存在是分类公理的结论。当一个集族的全部集合是$A,B,C,\cdots$时，这族集合的交集可写成$A\cap B\cap C\cap \cdots$。例：$\{1,2,3\}\cap \{0,2,4\}\cap \{2,1\}=\{2\}$。

假定$A=\{x_h\mid h\in H\}$，$B=\{y_k\mid k\in K\}$，那么$\{⟨x_h,y_k⟩\mid x_h\in A\wedge y_k\in B\}$是一个集合，它称为$A$和$B$的笛卡尔（Cartesius）积，记作$A\times B$。笛卡尔积存在是替代公理与并集公理的结论。因为对任何$h\in H$与$k\in K$，$\{⟨x_h,y_k⟩\}$是一个集合，由替代公理，$\{\{⟨x_h,y_k⟩\}\mid h\in H\}$是一个集族，因此存在并集$C_k=\bigcup _{h\in H}\{⟨x_h,y_k⟩\}$。$\{C_k\mid k\in K\}$又是一个集族，所以又存在并集$\bigcup _{k\in K}{C}_k$，这就是$A\times B$。假定$\{A_h\mid h\in H\}$是一个集族，其中每个$A_h\ne \varnothing$，那么由选择公理，对每个$h\in H$可以得到一个$x_h\in A_h$，并且由替代公理得到一个集合$⟨x_h\mid h\in H⟩=\{\{x_h,h\}\mid h\in H\}$，称为由一个选择变换的到的有序组。把每个$x_h\in A_h$换为一个${x_h}^{\prime }\in A_h$，那么由替代公理得到另一个集合$⟨{x_h}^{\prime }\mid h\in H⟩=\{\{{x_h}^{\prime },h\}\mid h\in H\}$，这同样可以看作由一个选择变换得到的有序组。所有这种有序组的全体是一个集合，它称为一族集合$A_h$（$h\in H$）的笛卡尔积，记作$\prod _{h\in H}{A}_h$。$H=2$时，$\prod _{h\in H}{A}_h$就是$A\times B$。