重复积分的柯西公式

重复积分的柯西公式不同于复变函数中的柯西积分公式，重复积分的柯西公式可以將對一個函數的重复積分轉換為對另一個函數的單一積分。

重复积分指的是对于一个函数反复进行多次迭代的积分，即定义为以下的过程：

定义

重复积分$I^{(n)}f(x)=I^{(n)}(x)$

$I^{(0)}(x)=f(x)$

$I^{(1)}(x)={\int }^{x}f(t)dt$

$I^{(2)}(x)={\int }^x{\int }^{t_1}f(t_2)d{t}_{2}d{t}_1$

$I^{(n)}(x)={\int }^x{\int }^{t_1}{\int }^{t_2}\cdots {\int }^{t_{n-1}}f(t_{n-1})d{t}_{n-1}d{t}_{n-2}\cdots dt$ (1)

$I^{(n)}(x)={\int }^x{I}^{(n-1)}(t)dt$ (2)

(1)就是重复积分的一般表达式；

(2)式是递推式；

简单来说I(n)f(x)就是对f(x)求n次积分。

主要公式

$I^{(n)}f(x)=\frac{1}{(n-1)!}{\int }^x(x-t{)}^{n-1}f(t)dt$