訊號與系統/由傅立葉級數到傅立葉轉換

週期訊號與非週期訊號

傅立葉級數表示式 ${\varphi }_{T0}$(t)=$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_n{e}^{jn{w}_{0}t}$

代表一週期為${\mathrm{T}}_0$之週期訊號，其中$w_0=\frac{2\pi }{T_0}$。

當$x(t)$為一週期訊號，基本週期為${\mathrm{T}}_0$，則$x(t)$可表示成傅立葉級數，即 :$x(t)$=$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_n{e}^{jn{w}_{0}t}$ 所有 t

當$x(t)$為非週期訊號時，傅立葉級數表示式$\varphi$${}_T$${}_0$(t)只能表示$t\in [\frac{-T_0}{2}$ ，$\frac{T_0}{2}$]範圍內之$x(t)$，即 :

$x(t)$=$\varphi$${}_T$${}_0$(t)

$t\in [\frac{-T_0}{2}$ ，$\frac{T_0}{2}$]

$x(t)$$\ne$$\varphi$${}_T$${}_0$(t)

$t\in ̸[\frac{-T_0}{2}$ ，$\frac{T_0}{2}$]

---

非週期訊號與傅立葉級數之關係

                       © G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

由上圖可知 :

$x(t)$=$\varphi$${}_T$${}_1$(t)

$t\in [\frac{-T_0}{2}$ ，$\frac{T_0}{2}$]

$x(t)$$\ne$$\varphi$${}_T$${}_0$(t)

$t\in ̸[\frac{-T_0}{2}$ ，$\frac{T_0}{2}$]

              $\Rightarrow$$x(t)$=$\underset{T_0\to \mathrm{\infty }}{\lim }x(t)=\varphi$${}_T$${}_0$(t)             所有t

---

週期訊號的線頻譜

一週期訊號

           $\varphi$${}_T$${}_0$(t)=$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_n{e}^{j2n\pi f_{0}t}$

         其中$f_0$=$\frac{1}{T_0}$

雙邊頻譜

                              © G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

由上圖知，頻譜為離散型，間隔 $f_0$=$\frac{1}{T_0}$。當 $T_0$增大時，$f_0$會變小，故間隔會縮小。

---

頻率與角頻率

所謂的頻域，有人喜歡用頻率f，單位為$\mathrm{H}\mathrm{Z}$；有人喜歡用角頻率$\omega$，單位為$\frac{rad}{sec}$苦命的我們只好兩種都學囉!

$\omega$與f之關係為 : $\omega$=2$\pi$f。

在第四章中，所有公式都以$\omega$為主，因為只要用$\omega$=2$\pi$f即可容易的轉換成f；在本章中，必要時我們將兩種公式並列，讓同學清楚其差異處!

---

非週期訊號的頻域特性

非週期訊號

          $x(t)$=$\underset{T_0\to \mathrm{\infty }}{\lim }\varphi$${}_T$${}_0$(t)=$\underset{T_0\to \mathrm{\infty }}{\lim }$$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_n{e}^{j2n\pi f_{0}t}$
         $\to$其中${\mathrm{X}}_n$=$\frac{1}{T_0}$$\underset{T_0}{\overset{}{\int }}x(t)$$e^{-j2n\pi f_{0}t}dt$

我們知道週期訊號的頻譜為離散型線頻譜；而非週期訊號必須取$T_0$$\to$$\mathrm{\infty }$ $\Rightarrow$$f_0$$\to$0，故變成連續型頻譜。 又

$\underset{T_0\to \mathrm{\infty }}{\lim }$$\mid {\mathrm{X}}_n\mid$=$\underset{T_0\to \mathrm{\infty }}{\lim }$$\mid \frac{1}{T_0}$$\underset{T_0}{\overset{}{\int }}x(t)$$e^{-j2n\pi f_{0}t}dt\mid$ $\le \underset{T_0\to \mathrm{\infty }}{\lim }$$\frac{1}{T_0}\underset{T_0}{\overset{}{\int }}\mid \mathrm{X}(t)\mid dt\to$0

---

週期訊號的連續型頻譜

-連續型頻譜${\mathrm{X}}_R(f)$可表示成：

          ${\mathrm{X}}_R(f)$=$\mid {\mathrm{X}}_R(f)\mid e[j\mathrm{\angle }{\mathrm{X}}_R(f)]$

           其中$\mid {\mathrm{X}}_R(f)\mid$為連續型振幅密度頻譜
             $\mathrm{\angle }{\mathrm{X}}_R(f)$為連續型相位頻譜

---

連續型振幅(密度)頻譜

$\mid {\mathrm{X}}_R(f)\mid$=$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mid X_n\mid }{\mathrm{△}f}$rect[(f-n$\mathrm{△}f$)] / $\mathrm{△}f$ 其中$\mathrm{△}f\equiv f_0$=$\frac{1}{T_0}$

                         © G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

---

連續型振幅(密度)頻譜(續)

           $\mid {\mathrm{X}}_R(f)\mid$為一連續型函數。
          因為採用$\frac{\mid X_n\mid }{\mathrm{△}f}$，故稱為振幅密度函數。
         $\underset{T_0\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\mid X_n\mid }{\mathrm{△}f}$不會趨近於0(已知$\underset{T_0\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mid X_n\mid \to$0)。

---

連續型相位頻譜

$\mathrm{\angle }{\mathrm{X}}_R(f)$=$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\angle }{\mathrm{X}}_n$rect[(f-n$\mathrm{△}f$) / $\mathrm{△}f]$

                           © G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.
                          

---

非週期訊號頻譜

由於$x(t)$=$\underset{T_0\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{\Phi }$${}_T$${}_0$(t)

              故可定義非週期訊號的密度頻譜為${\mathrm{X}}_{(}f)\equiv \underset{T_0\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\mathrm{X}}_R(f)$ 

當$f=n\mathrm{△}f$時 $\mathrm{X}(n\mathrm{△}f)$ =$\underset{T_0\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\mathrm{X}}_R(n\mathrm{△}f)$

         其中$\mid {\mathrm{X}}_R(n\mathrm{△}f)\mid$=$\mid {\mathrm{X}}_n\mid$ / $\mathrm{△}f$=${\mathrm{T}}_0\mid {\mathrm{X}}_n\mid$
                $\mathrm{\angle }{\mathrm{X}}_R(n\mathrm{△}f)$=$\mathrm{\angle }{\mathrm{X}}_n$
           故$\mathrm{X}(n\mathrm{△}f)$=$\underset{T_0\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\mathrm{T}}_0\mid {\mathrm{X}}_n\mid e(j\mathrm{\angle }{\mathrm{X}}_n)$
         =$\underset{T_0\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\mathrm{T}}_0{\mathrm{X}}_n$
         =$\underset{T_0\to \mathrm{\infty }}{\lim }$$\underset{-\frac{T_0}{2}}{\overset{\frac{T_0}{2}}{\int }}{e}^{-j2n\pi \mathrm{△}ft}dt$

---

非週期訊號頻譜(續)

${\mathrm{T}}_0\to \mathrm{\infty }\Rightarrow \mathrm{\Delta }f\to 0$ 故對於任意頻率 $f$ 均可找到一無窮大整數 $n$ 使得$f=n\mathrm{\Delta }f$ 令任意頻率$f=n\mathrm{\Delta }f$代入上式可得 $\Rightarrow \mathrm{X}(f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{X}(t)e^{-j2\pi ft}dt$ 我們稱$\mathrm{X}(f)$為非週期訊號$\mathrm{X}(t)$的傅立葉轉換(Fourier transform)

                 $\mid \mathrm{X}(f)\mid$ 為雙邊振幅(密度)頻譜(double-sided amplitude (density) spectrum) 
                  $\mathrm{\angle }\mathrm{X}(f)$ 為雙邊相位頻譜(double-sided  phase spectrum)

---

傅立葉逆轉換(inverse Fourier transform)

由 ${\mathrm{X}}_R(f)$ 的定義知：${\mathrm{X}}_R(n\mathrm{\Delta }f)$ = $\frac{\mid {\mathrm{X}}_n\mid }{\mathrm{\Delta }f}exp(j\mathrm{\angle }{\mathrm{X}}_n)$ $\Rightarrow (\mathrm{\Delta }f){\mathrm{X}}_R(n\mathrm{\Delta }f)={\mathrm{X}}_n$ ${\varphi }_{T0}(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{X}}_n{e}^{j2n\pi f_{0}t}$

$=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{X}}_R(n\mathrm{\Delta }f)e^{j2n\pi \mathrm{\Delta }ft}\mathrm{\Delta }f$

$\mathrm{X}(t)=\underset{T_0\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\varphi }_{T0}(t)=\underset{T_0\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{X}}_R(n\mathrm{\Delta }f)e^{j2n\pi \mathrm{\Delta }ft}\mathrm{\Delta }f$

$=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{X}(f)e^{j2\pi ft}df$

---

傅立葉轉換公式(使用f)

$\mathrm{X}(f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\chi (t)e^{-j2\pi ft}dt\equiv \mathrm{\Im }\left\{\begin{array}{c}\chi (t)\end{array}\right\}$

$\chi (t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{X}(f)e^{j2\pi ft}df\equiv {\mathrm{\Im }}^{-1}\left\{\begin{array}{c}\mathrm{X}(f)\end{array}\right\}$ 一般使用$\chi (t)\leftrightarrow \mathrm{X}(f)$來表示$\chi (t)$的傅立葉轉換為$\mathrm{X}(f)$，而$\mathrm{X}(f)$的傅立葉逆轉換為$\chi (t)$ 。

---

傅立葉轉換公式(使用$\omega$)

用角頻率$\omega$)的公式 $\chi (t)$的傅立葉轉換 ${\mathrm{X}}_{\omega }(\omega )\equiv \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\chi (t)e^{-j\omega t}dt=\mathrm{X}(\frac{\omega }{2\pi })$

$\chi (t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{X}(f)e^{j2\pi ft}df$

$=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{X}\frac{\omega }{2\pi }{e}^{j\omega t}d\frac{\omega }{2\pi }$

$=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{X}}_{\omega }(\omega )e^{j\omega t}d(\omega )$

---