訊號與系統/週期訊號的傅立葉轉換

週期訊號的傅立葉轉換－方法一

已知 x(t) 為ㄧ週期訊號，基本週期為 $T_{0}$ ，故 x(t) 的傅立葉級數為： $x (t)$ = $\sum_{n = - \infty}^{\infty} X_{n} e^{j 2 π n f_{0} t}$ ， $f_{0} = \frac{1}{T_{0}}$

x(t)的傅立葉轉換： $x (f)$ = $ℑ$ { $\sum_{n = - \infty}^{\infty} X_{n} e^{j 2 π n f_{0} t}$ } = $\sum_{n = - \infty}^{\infty} X_{n} ℑ$ { $e^{j 2 π n f_{0} t}$ } = $\sum_{n = - \infty}^{\infty} X_{n} δ (f - f_{0})$

回憶第四章所提週期訊號 x(t) 的頻譜是由傅立葉級數的係數所構成，為線頻譜。上述週期訊號 x(t) 的傅立葉轉換(Note：傅立葉轉換也是代表訊號的頻譜) $ℑ$ { $X (t)$ } = $X (f)$ $\sum_{n = - \infty}^{\infty} X_{n} δ (f - f_{0})$

也是由傅立葉級數的係數Xn所構成。

結論：無論傅立葉級數或傅立葉轉換均可用來求得週期訊號的頻譜。兩者均由傅立葉級數的係數Xn所構成。不同之處為：注意:由傅立葉級數求得之振幅頻譜為 $| X n |$ ，只是一個數值；由傅立葉轉換求得之振幅頻譜為一根ㄧ根的脈衝函數。(此因傅立葉轉換所得為振幅密度頻譜)

試分別用傅立葉級數及傅立葉轉換求下列週期訊號 x(t) 的頻譜。

【解】 (1)求 x(t) 的傅立葉級數

$x (t)$ = $\sum_{n = - \infty}^{\infty} X_{n} e^{j 2 π n f_{0} t}$ 其中 $f_{0} = \frac{1}{T_{0}}$ = 200MHz

(2)

$X n$ = $\frac{1}{T_{0}} \int_{t_{0} - \frac{2}{T_{0}}}^{t_{0} + \frac{2}{T_{0}}} X (t) e^{j 2 π n f_{0} t} d t$ = $\frac{1}{T_{0}} \int_{t_{0} - \frac{2}{T_{0}}}^{t_{0} + \frac{2}{T_{0}}} A e^{j 2 π n f_{0} t} d t$ = $\frac{A τ}{T_{0}} \sin c (n f_{0} τ) e^{- j 2 π n f_{0} t_{0}}$ = $1.6 \sin c (0.002 n f_{0} * 1 0^{-} 6) e^{- j 0.004 π f_{0} * 1 0^{-} 6}$

$\Rightarrow$ $| X n |$ = $| 1.6 \sin c (0.002 n f_{0} * 1 0^{-} 6) |$

$∠ X n$ = $[∠ \sin c (0.002 n f_{0} * 1 0^{-} 6)] + (0.004 π f_{0} * 1 0^{-} 6)$

(3)因為

$x (t)$ = $\sum_{n = - \infty}^{\infty} X_{n} e^{j 2 π n f_{0} t}$

取傅立葉轉換得

$X (f)$ = $ℑ$ { $X (t)$ } = $\sum_{n = - \infty}^{\infty} [1.6 \sin c (0.002 n f_{0} * 1 0^{-} 6 n f_{0}) e^{- j 0.004 π f_{0} * 1 0^{-} 6}]$ $δ (f - f_{0})$

故

$| X (f) |$ = $\sum_{n = - \infty}^{\infty} > | 1.6 \sin c (0.002 n f_{0} * 1 0^{-} 6) | δ (f - n f_{0})$

$∠ X (f) = {\begin{matrix} [∠ \sin c (0.002 n f_{0} * 1 0^{-} 6)] - (0.004 π f_{0} * 1 0^{-} 6), & f = n f_{0} n = 0, \pm 1, \pm 2, . . . \\ 0, & o t h e r \end{matrix}$

範例5.26

試求脈衝序列(impulse train)

$δ_{T 0} (t)$ = $\sum_{n = - \infty}^{\infty}$ $δ (t - n T_{0})$

的傅立葉轉換。

【解】

                (1)脈衝序列 $δ_{T} 0 (t)$ 為一週期訊號，基本週期為T_0
         
              (2)用傅立葉級數表示

$δ_{T} 0 (t)$ = $\sum_{n = - \infty}^{\infty}$ $δ (t - n T_{0})$ = $\sum_{n = - \infty}^{\infty} Δ_{n} e^{j 2 π n f_{0}}$ , $f_{0} = \frac{1}{T_{0}}$

其中 $Δ_{n}$ = $\frac{1}{T_{0}} \int_{t_{1}}^{t_{1} + T_{0}} δ_{T_{0}} (t) e^{- j 2 π n f_{0} t} d t$ = $\frac{1}{T_{0}} \int_{\frac{2}{- T_{0}}}^{\frac{2}{T_{0}}} δ_{T_{0}} (t) e^{- j 2 π n f_{0} t} d t$ = $\frac{1}{T_{0}} \int_{\frac{2}{- T_{0}}}^{\frac{2}{T_{0}}} δ (t) e^{- j 2 π n f_{0} t} d t$ = $\frac{1}{T_{0}}$ = $f_{0}$

故 $δ_{T_{0}} (t)$ = $\sum_{n = - \infty}^{\infty}$ $δ (t - n T_{0})$ = $\sum_{n = - \infty}^{\infty} f_{0} e^{j 2 π n f_{0} t}$

(3) $δ_{T_{0}} (t)$ 的傅立葉轉換

$ℑ$ { $δ_{T_{0}} (t)$ } = $Δ_{T_{0}} (f)$ = $\sum_{n = - \infty}^{\infty}$ $f_{0} δ (f - n f_{0})$

週期訊號的傅立葉轉換—方法二

x(t) 為ㄧ週期訊號，基本週期為T_0

定義：

$X_{p} (t) = {\begin{matrix} X (t), & t 1 < t < t 1 + T_{0} \\ 0, & o t h e r \end{matrix}$

故

X_p(t)* \delta_{T0}(t) = X_p(t)* [ $\sum_{n = - \infty}^{\infty}$ $f_{0} δ (t - n T_{0})$ ] = $\sum_{n = - \infty}^{\infty}$ $[X_{p} (t) * δ (t - n T_{0})]$ = $\sum_{n = - \infty}^{\infty}$ $X_{p} (t - n T_{0})$ = X(t)

所以

X(f) = $ℑ$ { $X (t)$ } = $ℑ$ { $X_{p} (t) * δ_{T 0} (t)$ } $X_{p} (f) δ_{T 0} (f)$ = X_p(f) $\sum_{n = - \infty}^{\infty}$ $f_{0} δ (f - n f_{0})$ = f_0 $\sum_{n = - \infty}^{\infty}$ $X_{p} (n f_{0}) δ (f - n f_{0})$

範例5.27

同先前範例5.25，試改用第二種方法求下圖 x(t) 之傅立葉轉換。

【解】︰

                (1)上圖週期訊號 x(t) 可表示成

$X (t) = X_{P} (t) * δ_{T 0} (t)$ $(T_{0} = 0.005 u s)$

其中

$X_{P} (t) = 4 r e c t (\frac{t - 0.002 * 1 0^{-} 6}{0.002 * 1 0^{-} 6})$

(2)已知

$X_{p} (f)$ = $ℑ$ { $X_{p} (t)$ } = $(0.008 * 1 0^{-} 6) \sin c (0.002 f * 1 0^{-} 6) e^{- j 0.004 π f * 1 0^{-} 6}$

$δ_{T 0} (f)$ = $ℑ$ { $δ_{T 0} (t)$ } = $\sum_{n = - \infty}^{\infty}$ $f_{0} δ (f - n f_{0})$ , $f_{0} = 200 M H z$

(3)故

$X (f) = X_{P} (f) δ_{T 0} (f)$ = $[(0.008 * 1 0^{-} 6) \sin c (0.002 f * 1 0^{-} 6) e^{- j 0.004 π f * 1 0^{-} 6} [\sum_{n = - \infty}^{\infty} f_{0} δ (f - n f_{0})]$ = $\sum_{n = - \infty}^{\infty} [1.6 \sin c (0.002 n f_{0} * 1 0^{-} 6) e^{- j 0.004 π f * 1 0^{-} 6}] δ (f - n f_{0})$

訊號與系統/週期訊號的傅立葉轉換

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範例5.26

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