訊號與系統/線性常微分方程式描述之LTI系統的頻率響應

線性常微分方程式描述之LTI系統的頻率響應

一LTI系統可以用N 階常微分方程式來描述：

       $\sum _{n=0}^N{a}_n\frac{d^{n}y(t)}{d{t}^n}=\sum _{m=0}^M{b}_m\frac{d^{m}x(t)}{d{t}^m},M\le N;a_n$和$b_m$為常數

等式兩邊做傅立葉轉換，可得

       $\sum _{n=0}^N{a}_n(j2\pi f{)}^{n}Y(f)=\sum _{m=0}^M{b}_m(j2\pi f{)}^{m}X(f)$
      $\iff Y(f)\sum _{n=0}^N{a}_n(j2\pi f{)}^n=X(f)\sum _{m=0}^M{b}_m(j2\pi f{)}^m$

LTI系統的頻率響應：

       $H(f)=\frac{Y(f)}{X(f)}=\frac{\sum _{m=0}^M{b}_m(j2\pi f{)}^m}{\sum _{n=0}^N{a}_n(j2\pi f{)}^n}$

範例6.3

一連續時間LTI系統的輸出訊號y(t)與輸入訊號x(t)的關係為一階常微分方程 式：

      $\frac{dy}{dt}+3y(t)=\frac{dx(t)}{dt}+x(t)$

請用傅立葉轉換求系統的頻率響應及脈衝響應。

【解】將等號兩邊做傅立葉轉換，可得

      $𝒋2\pi fY(f)+3Y(f)=j2\pi fX(f)+X(f)$
     $\iff (j2\pi f+3)Y(f)=(j2\pi f+1)X(f)$

系統的頻率響應：

      $H(f)=\frac{Y(f)}{X(f)}=\frac{j2\pi f+1}{j2\pi f+3}=1-\frac{2}{j2\pi f+3}$

$H(f)$之傅立葉逆轉換，我們可得到系統的脈衝響應為

      $𝒉(t)=\delta (t)-2e^{-3t}u(t)$

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範例6.4

一RC串聯電路如下圖，試求此電路之轉換函數。 ...........圖 © Rodger E. Ziemer, William H. Tranter, D. Ronald Fannin, Signals & Systems: Continuous and Discrete, 4thed., Prentice Hall International, 1998.

【解】(1)依照電路學的分析方法，此一電路之微分方程式

      $RC\frac{dy(t)}{dt}+y(t)=x(t)$

等號兩邊取傅立葉轉換

      $𝑹C(j2\pi f)Y(f)+Y(f)=X(f)$
     $\Rightarrow H(f)=\frac{Y(f)}{X(f)}=\frac{1}{1+j2\pi fRC}$

(2)用第三章方法求電路的單位脈衝響應：

     $h(t)=\frac{1}{RC}exp(-t/RC)u(t)$
  故$H(f)=\mathrm{\Im }[h(t)]=\frac{1}{RC}\frac{1}{\frac{1}{RC}+j2\pi f}=\frac{1}{1+j2\pi fRC}$

(3)使用交流穩態分析方法

     $\overrightarrow{Y}=\frac{\frac{1}{j\omega C}}{R+\frac{1}{j\omega C}}\overrightarrow{X}$  其中$\mathit{\omega }=2\pi f$
    $\Rightarrow H(f)=\frac{\overrightarrow{Y}}{\overrightarrow{X}}=\frac{\frac{1}{j2\pi fC}}{R+\frac{1}{j2\pi fC}}=\frac{1}{1+j2\pi fRC}[=\frac{1}{1+j\omega RC}]$

$x_T(t)=x(t)rect(\frac{t}{\tau })$為一能量訊號，其能量密度頻譜

     $G_{xT}(f)=\mid X_T(f){\mid }^2$

系統輸出訊號$y(t)$的功率密度頻譜：

     $S_y(f)=\lim$

系統輸出訊號的能量密度頻譜

...............圖....(沒編號)......................... 假設系統輸入訊號$x(t)$為能量訊號，其能量密度頻譜：

      $G_x(f)=\mid X(f){\mid }^2$

若LTI系統為BIBO穩定，則其輸出訊號$y(t)$亦為能量訊號 輸出訊號$y(t)$的能量密度頻譜為

      $G_y(f)=\mid Y(f){\mid }^2=\mid X(f){\mid }^2\mid H(f){\mid }^2=\mid H(f){\mid }^2{G}_x(f)$

即：輸出訊號$y(t)$能量密度頻譜為輸入訊號$x(t)$的能量密度頻譜乘上$\mid H(f){\mid }^2$

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系統輸出訊號的功率密度頻譜

假設系統輸入訊號$x(t)$為功率訊號，其功率密度頻譜

      $S_x(f)=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{T}\mid X_T(f){\mid }^2$ 
     其中 
      $X_T(f)=\mathrm{\Im }[x(t)rect(\frac{t}{T})]$

$X_T(t)=x(t)rect(\frac{t}{\tau })$為一能量訊號，其能量密度頻譜

      $G_{xT}(f)=\mid X_T(f){\mid }^2$

系統輸出訊號$y(t)$的功率密度頻譜：

      $S_y(f)=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{T}\mid H(f){\mid }^2{G}_{xT}(f)=\mid H(f){\mid }^2\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{T}\mid X_T(f){\mid }^2=\mid H(f){\mid }^2{S}_x(f)$