訊號與系統/濾波器

濾波器

訊號濾波(filtering)是將輸入訊號之不同頻率成份的增益做選擇性改變，甚且將某些頻率成份壓抑掉。

處理訊號濾波的系統稱為濾波器(filter) 。其實濾波器可看成一種頻率選擇器，即讓設定頻率範圍內之訊號通過(或濾除) 。

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理想濾波器分析

一個理想濾波器可讓某一頻帶的信號完全通過，並將其餘頻率範圍之訊號完全濾除(阻隔)，其中訊號完全通過的頻率範圍稱為通帶(passband)，而訊號完全濾除的頻率範圍稱為阻帶(stopband)。

所謂理想濾波器是理論上用來分析說明訊號濾波的效果，實際上並無法實現此濾波器。

濾波器依功能一般區分為

  低通濾波器(low-pass filter, LPF)
  高通濾波器(high-pass filter, HPF)
  帶通濾波器(band-pass filter, BPF)
  帶止濾波器(band-stop filter, BSF)

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理想低通濾波器

理想低通濾波器的強度響應定義為

     $\mid H(f)\mid =\{\begin{array}{cc}1,& \mid f\mid <f_{cut}\\ 0,& \mid f\mid >f_{cut}\end{array}$

其中$f_{cut}$是截止頻率。

強度頻譜$\mid H(f)\mid$如下圖所示。 ...........................圖..........................................©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

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理想高通濾波器

理想高通濾波器的強度響應定義為

     $\mid H(f)\mid =\{\begin{array}{cc}0,& \mid f\mid <f_{cut}\\ 1,& \mid f\mid >f_{cut}\end{array}$

強度頻譜$\mid H(f)\mid$如下。 .......................圖....................................©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

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理想帶通濾波器

理想帶通濾波器的強度響應定義為

    $\mid H(f)\mid =\{\begin{array}{cc}1,& f_1<\mid f\mid <f_2\\ 0,& otherwise\end{array}$

強度頻譜$\mid H(f)\mid$如下圖所示。 ......................圖....................................©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

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理想帶止濾波器

理想帶止濾波器的強度響應定義為

    $\mid H(f)\mid =\{\begin{array}{cc}0,& f_1<\mid f\mid <f_2\\ 1,& otherwise\end{array}$

強度頻譜$\mid H(f)\mid$如下圖所示。 .....................圖...................................©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

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範例6.5

給定濾波器的輸入訊號的振幅頻譜如下圖所示，請以此訊號分別輸入理想低通、高通、帶通和帶止濾波器，分別分析濾波器輸出訊號的振幅頻譜。

假設濾波器的相位響應$\mathrm{\angle }H(f)$為零。

.............................圖.....................................©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

.............................圖.....................................©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

【解】濾波器的輸出訊號振幅頻譜$\mid Y(f)\mid =\mid X(f)\mid \mid H(f)\mid$

(a)理想低通濾波器：輸入訊號高於截止頻率3000 Hz的成份被濾除，只有頻率低於3000 Hz的成份通過。

..............................圖.......................................©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

(b)理想高通濾波器：輸入訊號低於頻率3000 Hz的成份被濾除，只有頻率高於3000 Hz的成份通過。

..............................圖.......................................©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

(c)理想帶通濾波器：輸入訊號位於2000 Hz到4000 Hz之頻帶範圍的成份通過，其餘部份被濾除。

..............................圖.......................................©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

(d)理想帶止濾波器：輸入訊號位於3000Hz到4000Hz之頻帶範圍的成分阻止無法通過，其餘部分可通過。

..............................圖.......................................©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

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範例6.6

同範例6.5之濾波器，給定濾波器的輸入訊號為

     $𝒙(t)=3cos(200\pi t)+2cos(3000\pi t-\pi /2)+4cos(5000\pi t+\pi /4)+cos(7000\pi t+\pi /4)+cos(9000\pi t)$

請分別分析濾波器輸出訊號。

【解】利用理想濾波器的物理意義，直接考量原輸入訊號的哪些頻率成份可通過或濾除，便可直接地寫出輸出訊號。 (a)理想低通濾波器：

     $𝒚(t)=3cos(2000\pi t)+2cos(3000\pi t-\pi /2)+4cos(5000\pi t+\pi /4)$

(b)理想高通濾波器：

     $𝒚(t)=4cos(5000\pi t+\pi /4)+cos(7000\pi t+\pi /4)$

(c)理想帶通濾波器：

    $𝒚(t)=4cos(5000\pi t+\pi /4)+cos(7000\pi t+\pi /4)$

(d)理想帶止濾波器：

     $𝒙(t)=3cos(200\pi t)+2cos(3000\pi t-\pi /2)+4cos(5000\pi t+\pi /4)+cos(7000\pi t+\pi /4)+cos(9000\pi t)$

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非理想濾波器分析

一個簡單的RC電路可實現低通濾波器。試說明理想濾波器與非理想濾波器之差異。此RC電路系統之微分方程表示式為

     $RC\frac{dy(t)}{dt}+y(t)=x(t)$

等號兩邊做傅立葉轉換，可得

     $j2\pi fRCY(f)+Y(f)=X(f)$

..........................圖..........................©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

RC電路之系統的頻率響應為

     $H(f)=\frac{Y(f)}{X(f)}=\frac{1}{1+j2\pi fRC}=\frac{1}{1+jf/f_o}$             $f_0=\frac{1}{2\pi RC}$

RC電路之強度響應與相位響應可表示成

     $\mid H(f)\mid ={\left[\frac{1}{1+(f/f_0{)}^2}\right]}^{\frac{1}{2}}$
    $\mathrm{\angle }H(f)=-ta{n}^{-1}\frac{f}{f_0}$

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RC電路所實現之低通濾波器的頻率響應

..............................圖.............................©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

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理想與非理想濾波器之差異

增益：

(1)理想濾波器在通帶的增益固定為1，表示讓通帶的輸入訊號「完全」通過，而阻帶的增益固定為0，表示將阻帶的輸入訊號「完全」濾除。

(2)非理想濾波器的增益是頻率的函數而不固定。

截止頻率：

(1)理想濾波器通帶與阻帶之間可以瞬間切換。

(2)非理想濾波器在通帶與阻帶之間無法瞬間切換，其衰減程度(增益)隨頻率連續變化，因此有過渡帶(transition band)的存在，而且阻帶的增益也無法達到0。

線性相位：理想濾波器的相位響應是頻率的線性函數，一般濾波器設計時若其輸出訊號不要有相位失真，則此濾波器須有線性的相位響應。

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