訊號與系統/奇異函數訊號

奇異函數訊號

常用之奇異函數訊號(singularity function signal)包括：

                 (1)單位步階函數(unit step function)

               (2)單位脈衝函數(unit impulse function)

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單位步階函數

單位步階函數定義為： $\{\begin{array}{c}1,t>0\\ 0,t<0\end{array}$

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單位脈衝函數

單位脈衝函數定義為： $\delta (t)=\{\begin{array}{c}\mathrm{\infty },t=0\\ 0,t\ne 0\end{array}$

                 $\underset{-\alpha }{\overset{\beta }{\int }}\delta (t)dt$ = 1  ,  $\alpha$ 、 $\beta$  為任意正數

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單位脈衝函數（續）

原始單位脈衝函數之物理意義： $\delta ϵ(t)$ = $\{\begin{array}{c}\frac{1}{ϵ},\mid t\mid <\frac{ϵ}{2}\\ 0,else\end{array}$

                       $\delta (t)=\underset{ϵ\to 0}{\lim }\delta ϵ(t)$

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單位脈衝函數（續）

除了方波 $\delta ϵ(t)$ 外，也可用其他訊號來近似 $\delta (t)$ 。

例如：三角脈波(triangular pulse) 、指數脈波(exponential pulse) 、高斯常態脈波(Gaussian pulse)等。

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單位脈衝訊號在積分式之運算

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\delta (t)dt$ = $\underset{ϵ\to 0}{\lim }f(\frac{-ϵ}{2})$$\frac{1}{ϵ}ϵ$ = $\underset{ϵ\to 0}{\lim }f(\frac{ϵ}{2})ϵ$ = f(0)

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\delta (t-to)dt$ = f ( to )

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範例2.3

(i)$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}cos(6\pi t)\delta (t)dt$ = cos(0) = 1

(ii)$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}cos(6\pi t)\delta (t-0.5)dt$ = cos(3$\pi$) = -1

(iii)$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-3t}\delta (t-2)dt$ = $e^{-6}$

(iv))$\underset{3}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-3t}\delta (t-2)dt$ = 0 ， [因為$\delta (t-2)$在積分範圍外]

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單位脈衝函數與單位步階函數的關係

$\bullet \delta (t)=\frac{d}{dt}u(t)$

$\bullet u(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}\delta (\lambda )d\lambda$

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