訊號與系統/旋積運算的特性

旋積運算特性

●交換律(commutative)  ${𝐟}_1(t)*f_2(t)=f_2(t)*f_1(t)$

【證明】： $f_1(t)*f_2(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_1(\lambda )f_2(t-\lambda )d\lambda$

令 $t-\lambda =x\Rightarrow dx=-d\lambda$

$=-\underset{\mathrm{\infty }}{\overset{-\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_1(t-x)f_2(x)dx$

$=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_2(x)f_1(t-x)dx$

$\mathbf{=}{f}_2(t)*f_1(t)$

●結合律(associative)

${𝐟}_1(t)*[f_2(t)*f_3(t)]=[f_1(t)*f_2(t)]*f_3(t)$

●分配律(distributive)

${𝐟}_1(t)*[f_2(t)+f_3(t)]=f_1(t)*f_2(t)+f_1(t)*f_3(t)$

●位移特性(shift property) 

令 ${𝐟}_1(t)*f_2(t)=c(t)$

則 ${𝐟}_1(t)*f_2(t-T)=c(t-T)$

${𝐟}_1(t-T)*f_2(t)=c(t-T)$

${𝐟}_1(t-T_1)*f_2(t-T_2)=c(t-T_1-T_2)$

【證明】
   
(1)已知

$f_1(t)*f_2(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_1(\lambda )f_2(t-\lambda )d\lambda =c(t)$ $\Rightarrow f_1(t)*f_2(t-T)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_1(\lambda )f_2(t-T-\lambda )d\lambda =c(t-T)$

(2)由(1)與交換律可得

${𝐟}_1(t-T)*f_2(t)=c(t-T)$

(3)由(1)與(2)可得

${𝐟}_1(t-T_1)*f_2(t-T_2)=c(t-T_1-T_2)$

●微分特性(Derivative Property)

$\frac{d}{dt}[f_1(t)*f_2(t)]=\frac{d{f}_1(t)}{dt}*f_2(t)=f_1(t)*\frac{d{f}_2(t)}{dt}$

【證明】

(1)

$\frac{d}{dt}[f_1(t)*f_2(t)]=\frac{d}{dt}[\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_1(\lambda )f_2(t-\lambda )d\lambda ]$

$=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_1(\lambda )[\frac{d}{dt}{f}_2(t-\lambda )]d\lambda$

$=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_1(\lambda )[\frac{d{f}_2(t\lambda )}{d(t-\lambda )}]d\lambda$

$=f_1(t)*\frac{d{f}_2(t)}{dt}$

(2)由(1)與交換律可得

$\frac{d}{dt}[f_1(t)*f_2(t)]=\frac{d{f}_1(t)}{dt}*f_2(t)$

【推論】

$\frac{d^2}{d{t}^2}[f_1(t)*f_2(t)]=\left[\frac{d{f}_1(t)}{dt}\right]*\left[\frac{d{f}_2(t)}{dt}\right]$

●積分特性(Integration Property) 

令 $Int(f(t))=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}f(\lambda )d\lambda$

則 $𝐈nt(f_1*f_2)=Int(f_1)*f_2=f_1*Int(f_2)$

●與脈衝函數作旋積運算  

$𝐟(t)*\delta (t)=f(t)$

$𝐟(t)*\delta (t-T)=f(t-T)$

【證明】

$f(t)*\delta (t)=\delta (t)*f(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (\lambda )f(t-\lambda )d\lambda$

因為$\lambda \ne 0$ $\mathit{\delta }(\lambda )=0$

$=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (\lambda )f(t)d\lambda$

$=f(t)\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (\lambda )d\lambda$

$\mathbf{=}f(t)$

●寬度特性 :

假設${𝐟}_1(t)$與${𝐟}_2(t)$ 的寬度分別是${𝐓}_1$及${𝐓}_2$，則${𝐟}_1(t)*f_2(t)$的寬度為${𝐓}_1+T_2$

© B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

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線性非時變系統的特性

●LTI系統的交換性

(a) 連續時間LTI系統1 (b) 連續時間LTI系統2

©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

●上圖中${𝐲}_1(t)=y_2(t)$

●連續時間LTI系統的串聯架構

©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

●$𝐡(t)=h_1(t)*h_2(t)$

●連續時間LTI系統的並聯架構

©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

●$𝐡(t)=h_1(t)+h_2(t)$

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範例3.20

假定4個連續時間LTI系統的脈衝響應分別是${𝐡}_1(t)$、${𝐡}_2(t)$、${𝐡}_3(t)$與${𝐡}_4(t)$，以此4個次系統合成一個新系統，其架構如圖3-5所示，利用前述旋積運算特性及系統分析，此新系統的脈衝響應可表示成： 

$𝐡(t)=[h_1(t)+h_2(t)]*h_3(t)+h_4(t)$

©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

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無記憶特性

●一系統的輸出訊號只與同一時間的輸入訊號有關，此種系統稱為無記憶系統；反之，若輸出訊號與其他時間的輸入訊號有關，此系統即稱為記憶系統。 

●一連續時間LTI系統的脈衝響應表示系統的輸入訊號為$\mathit{\delta }(t)$，若此連續時間LTI系統不具記憶特性，那麼一定要符合以下條件： 

$𝐡(t)=0$，$𝐭\ne 0$

因為輸入訊號表示只在t = 0時有訊號，加上線性特性的條件，一連續時間無記憶連續時間LTI系統的脈衝響應可寫成：

$𝐡(t)=k\delta (t)$，k為常數

●此無記憶系統的輸入為任意訊號所得到的輸出訊號：

$y(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(\tau )h(t-\tau )d\tau =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(\tau )k\delta (t-\tau )d\tau =kx(t)$

●以上分析可知，若一連續時間LTI系統不具記憶特性時，系統的輸出入關係為$𝐲(t)=kx(t)$或其脈衝響應為$𝐡(t)=k\delta (t)$。顯然輸出入關係$𝐲(t)=kx(t)$代表此系統是一個理想的放大器($𝐤>1$)、緩衝器($𝐤=1$)、全通濾波器($𝐤=1$)或衰減器($𝐤<1$)。

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因果特性

●若一系統的輸出訊號只與目前或之前的輸入訊號有關，此系統稱為因果系統(causal system)；反之，若輸出訊號與未來時間的輸入訊號有關，此系統即稱為非因果系統(non-causal system)。

●一連續時間LTI系統的脈衝響應表示系統的輸入訊號為$\mathit{\delta }(t)$，若此連續時間LTI系統具因果特性，那麼一定要符合以下條件： (因為輸入訊號$\mathit{\delta }(t)$表示只在t = 0時才有訊號輸入，因此在t = 0之前不能有輸出訊號。)

$𝐡(t)=0$，$𝐭<0$

●一連續時間因果LTI系統的輸入為訊號$x(t)$時，其輸出訊號：

$y(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(\tau )h(t-\tau )d\tau =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}x(\tau )h(t-\tau )d\tau$

其中使用到因果特性，即$𝐡\mathbf{(}𝐭\mathbf{-}\mathit{\tau }\mathbf{)}\mathbf{=}\mathrm{𝟎},𝐭\mathbf{-}\mathit{\tau }<\mathrm{𝟎}\mathbf{\Rightarrow }𝐭<\tau$

●又根據交換律可得：

$y(t)=x(t)*h(t)=h(t)*x(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}h(\tau )x(t-\tau )d\tau$

$=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}h(\tau )x(t-\tau )d\tau$

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