訊號與系統/訊號的不同表示方式

訊號分解

線性系統對輸入訊號的響應滿足重疊原理。

計算線性系統對任意輸入訊號 $x (t)$ 的響應:

(1)將輸入訊號 $x (t)$ 分解成 $x (t) = x_{1} (t) + X_{2} (t) + . . . + x_{n} (t)$

(2)分別求出系統對 $x_{1} (t), x_{2} (t), . . . x_{n} (t)$ 之響應 $y_{1} (t), y_{2} (t), . . . y_{n} (t)$

(3)系統的輸出 $y (t) = y_{1} (t) + y_{2} (t) + . . . + y_{n} (t)$

此外，訊號的分解可將訊號表示成個别具有重要特性之子訊號的和。

圖出處 ©G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

由上圖， $w (t) = w_{1} (t) + W_{2} (t)$ 。其中(a)為 $w_{1} (t)$ 的平均值(b)為 $w (t) = w_{1} (t) + W_{2} (t)$ 非零部分的斜率。

訊號 $v (t) = 2 c o s [2 π (1) t - \frac{π}{4}] + 0.75 c o s [2 π (2) t - \frac{π}{3}]$

圖出處©G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

上圖為 $v (t)$ 之時域表示，圖中橫軸表示時間

觀察式子 $v (t) = 2 c o s [2 π (1) t - \frac{π}{4}] + 0.75 c o s [2 π (2) t - \frac{π}{3}]$

可知，此訊號將由底下六個參數完全決定：

頻率(frequency) $f$ : $1 H z$ , $2 H z$

振幅(amplitude)(恆正) $A (f)$ :2,0.75

相角(phase) $P h (f) :$ $- \frac{π}{4}$ , $- \frac{π}{3}$

故訊號 $v (t)$ 可由 $A (f)$ 及 $P (f)$ 兩個頻率 $(f)$ 的函數來表示，此 $A (f)$ 及 $P h (f)$ 即為 $v (t)$ 在頻域的表示。

由 $v (t)$ 的頻域表示可知，訊號 $v (t)$ 只在 $1 H z$ 及 $2 H z$ 的頻域上有能量。此一資訊無法直接由 $v (t)$ 的時域表示中獲得。

相反的，由 $v (t)$ 的時域表示中可知訊號的最大值與最小值。但由頻域表示中不容易獲得此一資訊。

總之，無論是時域或頻域的表示法均可完全決定一個訊號。然不同的表示法會突顯出訊號不同之特性。唯有熟悉此兩種不同表示法才可有效率的對訊號做處理