訊號與系統/三角傅立葉級數

傅立葉級數的觀念

傅立葉(Jean Baptiste Joseph Fourier)(1768-1830)首先提出一個週期訊號可以表示成弦波訊號的和。

假設x(t)為一週期訊號，其基本週期為$T^0$，則x(t)可表示成弦波訊號的和：

$x(t)=a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[a_{n}cosn{\omega }_{0}t+b_{n}sinn{\omega }_{0}t]$

其中${\omega }_0=\frac{2\pi }{T_0}$

因為是用弦波訊號的和來表示週期訊號，故上述稱為三角傅立葉級數。

三角傅立葉級數的係數

三角傅立葉級數：$x(t)=a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[a_{n}cosn{\omega }_{0}t+b_{n}sinn{\omega }_{0}t]$

如何求係數:$a_0$,$a_n$,及$b_n$?

求$a_0$：

將上式等號兩邊分別對t積分，積分範圍為一個基本週期$T0$，也就是$[t_1,t_1+T_o]$，t1可為任意值。

$\underset{T_0}{\overset{}{\int }}x(t)dt=\underset{T_0}{\overset{}{\int }}{a}_{0}dt+\begin{array}{c}0\\ \overbrace{\underset{T_0}{\overset{}{\int }}{a}_{1}cos{\omega }_{0}tdt}\end{array}+\begin{array}{c}0\\ \overbrace{\underset{T_0}{\overset{}{\int }}{a}_{2}cos2{\omega }_{0}tdt}\end{array}+...$

$+\begin{array}{c}\underbrace{\underset{T_0}{\overset{}{\int }}{b}_{1}sin{\omega }_{0}tdt}\\ 0\end{array}+\begin{array}{c}\underbrace{\underset{T_0}{\overset{}{\int }}{b}_{2}sin2{\omega }_{0}tdt}\\ 0\end{array}+...$

注意：任何弦波訊號積分一個週期或整數個週期結果均等於0

$⟺\underset{T^0}{\overset{}{\int }}x(t)dt=a_0{T}^0$

故$a_0=\begin{array}{c}\underbrace{\frac{1}{T_0}\underset{T_0}{\overset{}{\int }}x(t)dt}\\ x(t)average\end{array}$

求第 k 項的係數$a_k$及$b_k(k\ne 0)$

(一)將三角傅立葉級數等號兩邊同乘上$cosk$${\omega }_{0}t$再對時間t積分，積分範圍為$T_0$。 $\underset{T_0}{\overset{}{\int }}cosk{\omega }_{0}tdt=\begin{array}{c}\underbrace{\underset{T_0}{\overset{}{\int }}{a}_{0}cosk{\omega }_{0}tdt}\\ 0\end{array}+\underset{T_0}{\overset{}{\int }}(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n}cosn{\omega }_{0}t)cosk{\omega }_{0}tdt+\underset{T_0}{\overset{}{\int }}(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_{n}cosn{\omega }_{0}t)cosk{\omega }_{0}tdt$

$\underset{T_0}{\overset{}{\int }}cosk{\omega }_{0}tdt=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[a_n\begin{array}{c}\underbrace{\underset{T_0}{\overset{}{\int }}cos{\omega }_{0}tcosk{\omega }_{0}tdt}\\ =I_3=\{\begin{array}{cc}0,& \text{if }n\text{ is not equal to k}\\ \frac{T_0}{2},& \text{if }n\text{ is equal to k}\end{array}\end{array}+b_n\begin{array}{c}\underbrace{\underset{T_0}{\overset{}{\int }}sinn{\omega }_{0}tcosk{\omega }_{0}tdt}\\ =I_1=0\end{array}]$

$\underset{T_0}{\overset{}{\int }}x(t)cosk{\omega }_{0}tdt=a_k\frac{T_0}{2}$

$\Rightarrow a_k=\frac{2}{T_0}\underset{T_0}{\overset{}{\int }}x(t)cosk{\omega }_{0}tdt$

(二)將三角傅立葉級數等號兩邊同乘上$sink$${\omega }_{0}t$再對時間t積分，積分範圍為$T_0$。

$\underset{T_0}{\overset{}{\int }}sink{\omega }_{0}tdt$=$\begin{array}{c}\underbrace{\underset{T_0}{\overset{}{\int }}{a}_{0}sink{\omega }_{0}tdt}\\ 0\end{array}$+$\underset{T_0}{\overset{}{\int }}(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n}cosn{\omega }_{0}t)sink{\omega }_{0}tdt$+$\underset{T_0}{\overset{}{\int }}(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_{n}sinn{\omega }_{0}t)sink{\omega }_{0}tdt$

$\underset{T_0}{\overset{}{\int }}sink{\omega }_{0}tdt$=$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}[a_n\begin{array}{c}\underbrace{\underset{T_0}{\overset{}{\int }}cosn{\omega }_{0}tsink{\omega }_{0}tdt}\\ =I_1=0\end{array}+b_n\begin{array}{c}\underbrace{\underset{T_0}{\overset{}{\int }}sinn{\omega }_{0}tsink{\omega }_{0}tdt}\\ =I_2=\{\begin{array}{cc}0,& \text{if }n\text{ is equal k}\\ \frac{T_0}{2},& \text{if }n\text{ is not equal to k}\end{array}\end{array}]$

$\underset{T_0}{\overset{}{\int }}sink{\omega }_{0}tdt=b_x\frac{T_0}{2}$

$\Rightarrow b_k=\frac{2}{T_0}=\underset{T_0}{\overset{}{\int }}sink{\omega }_{0}tdt$

說明 $I_1\equiv \underset{T_0}{\overset{}{\int }}cosn{\omega }_{0}tsink{\omega }_{0}dt$

若$n\ne k$

$I_1=\frac{1}{2}[\begin{array}{c}0\\ \overbrace{\underset{T_0}{\overset{}{\int }}sin(n+k){\omega }_{0}tdt}\end{array}$ - $\begin{array}{c}0\\ \overbrace{\underset{T_0}{\overset{}{\int }}sin(n-k){\omega }_{0}tdt}\end{array}]=0$

若$n=k$

$I_1=\underset{T_0}{\overset{}{\int }}cosk{\omega }_{0}tsink{\omega }_{0}tdt=\frac{1}{2}\underset{T_0}{\overset{}{\int }}sin2k{\omega }_{0}tdt=0$

所以$I_1=\underset{T_0}{\overset{}{\int }}cosn{\omega }_{0}tsink{\omega }_{0}tdt=0$

說明 $I_2\equiv \underset{T_0}{\overset{}{\int }}sinn{\omega }_{0}tsink{\omega }_{0}dt$

若$n\ne k$

$I_1=\frac{1}{2}[\begin{array}{c}0\\ \overbrace{\underset{T_0}{\overset{}{\int }}cos(n-k){\omega }_{0}tdt}\end{array}$ - $\begin{array}{c}0\\ \overbrace{\underset{T_0}{\overset{}{\int }}cos(n+k){\omega }_{0}tdt}\end{array}]=0$

若$n=k$

$I_2=\underset{T_0}{\overset{}{\int }}sink{\omega }_{0}tsink{\omega }_{0}tdt=\underset{T_0}{\overset{}{\int }}si{n}^2{\omega }_{0}tdt$

$=\underset{T_0}{\overset{}{\int }}\frac{1-cos2k{\omega }_{0}t}{2}dt=\underset{T_0}{\overset{}{\int }}\frac{1}{2}dt$-$\begin{array}{c}0\\ \overbrace{\underset{T_0}{\overset{}{\int }}\frac{1}{2}cos2k{\omega }_{0}tdt}\end{array}=\frac{T_0}{2}$

所以$I_2=\{\begin{array}{cc}0,& \text{if }n\text{ is equal k}\\ \frac{T_0}{2},& \text{if }n\text{ is not equal to k}\end{array}$

說明 $I_3\equiv \underset{T_0}{\overset{}{\int }}cosn{\omega }_{0}tcosk{\omega }_{0}dt$

若$n\ne k$

$I_3=\frac{1}{2}[\begin{array}{c}0\\ \overbrace{\underset{T_0}{\overset{}{\int }}cos(n-k){\omega }_{0}tdt}\end{array}$ - $\begin{array}{c}0\\ \overbrace{\underset{T_0}{\overset{}{\int }}cos(n+k){\omega }_{0}tdt}\end{array}]=0$

若$n=k$

$I_3=\underset{T_0}{\overset{}{\int }}co{s}^{2}k{\omega }_{0}tdt=\underset{T_0}{\overset{}{\int }}\frac{1+cos2k{\omega }_{0}t}{2}dt$

$=\underset{T_0}{\overset{}{\int }}\frac{1}{2}dt$+$\begin{array}{c}0\\ \overbrace{\underset{T_0}{\overset{}{\int }}\frac{1}{2}cos2k{\omega }_{0}tdt}\end{array}=\frac{T_0}{2}$

$I_3=\{\begin{array}{cc}0,& \text{if }n\text{ is equal k}\\ \frac{T_0}{2},& \text{if }n\text{ is not equal to k}\end{array}$

三角傅立葉級數(整理)

一個基本週期為$T_0$的週期訊號可表示成三角傅立葉級數：

$x(t)=a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[a_{n}cosn{\omega }_{0}t+b_{n}sin{\omega }_{0}t]$

其中

$a_0=\frac{1}{T_0}\underset{T_0}{\overset{}{\int }}x(t)dt$ ($x(t)$的平均值)

$a_n=\frac{2}{T_0}\underset{T_0}{\overset{}{\int }}x(t)cosn{\omega }_{0}tdt$ $(n\ne 0)$

$b_n=\frac{2}{T_0}\underset{T_0}{\overset{}{\int }}x(t)sinn{\omega }_{0}tdt$ $(n\ne 0)$

三角傅立葉級數第二式

利用三角函數的公式

$a_{n}cosn{\omega }_{0}t+b_{n}sinn{\omega }_{0}t=c_{n}cos(n{\omega }_0+{\theta }_n)$

其中: $c_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}$

${\theta }_n=ta{n}^{-}1\frac{-b_n}{a_n}$

故:$x(t)=a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_{n}cosn{\omega }_{0}t+b_{n}sinn{\omega }_{0}t)$

=$a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_{n}cos(n{\omega }_{0}t+{\theta }_n)$

令$c_0=a_0\Rightarrow x(t)=c_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_{n}cos(n{\omega }_{0}t+{\theta }_n)$

......三角傅立葉級數第二式

函數不連續點之級數收斂值

不連續點：傅立葉級數收斂至不連續點之左、右極限的平均值。

圖出處©Rodger E. Ziemer, William H. Tranter, D. Ronald Fannin, Signals & Systems: Continuous and Discrete, 4th ed., Prentice Hall International, 1998.

傅立葉級數存在的條件

Dirichlet 條件：

1 .$x(t)$在一個週期內只存在有限個不連續點，且這些不 連續點均為有限值。

2 .$x(t)$在一個週期內只有有限個極大值和極小值。

3 .$X(t)$在一個週期內為絕對可積，即

$\underset{t_1+T_0}{\overset{t_1}{\int }}|x(t)|dt<\mathrm{\infty }$ $t_1$為任意時間

若$x(t)$滿足 Dirichlet 條件，則$x(t)$可表示成傅立 葉級數。

範例4.10

試求週期方波$x(t)$之三角傅立葉級數。

圖出處©B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

【解】$x(t)$的基本週期為$T_0=2\pi \Rightarrow {\omega }_0=\frac{2\pi }{T_0}=1$

$x(t)=a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[a_{n}cosnt+b_{n}sinnt]$

$a_0=\frac{1}{T_0}\underset{T_0}{\overset{}{\int }}x(t)dt=\frac{1}{2\pi }\underset{\frac{-\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}dt=\frac{1}{2}$

$a_n=\frac{2}{T_0}\underset{T_0}{\overset{}{\int }}x(t)cosntdt=\frac{1}{\pi }\underset{\frac{-\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}cosntdt=\frac{2}{n\pi }sin(\frac{n\pi }{2})$

$=\{\begin{array}{cc}0,& \text{if }n\text{ is even}\\ \frac{2}{n\pi },& n\text{=1,5,9,13...}\\ \frac{-2}{n\pi },& n\text{=3,7,11,15...}\end{array}$

$b_n=\frac{2}{T_0}\underset{T_0}{\overset{}{\int }}x(t)sinntdt=\frac{1}{\pi }\underset{\frac{-\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}sinntdt=0$

$x(t)=\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi }(cost-\frac{1}{3}cos3t+\frac{1}{5}cos5t-\frac{1}{7}cos7t+...)$

$-cosx=cos(x-\pi )$

$=\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi }[cost+\frac{1}{3}cos(3t-\pi )+\frac{1}{5}cos5t+\frac{1}{7}cos(7t-\pi )+...]$

=$c_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_{n}cos(nt+{\theta }_n)$

其中 $c_0=\frac{1}{2}$

$c_n=\{\begin{array}{cc}0,& \text{if }n\text{ is even}\\ \frac{2}{n\pi },& \text{if }n\text{ is odd}\end{array}$

${\theta }_n=\{\begin{array}{cc}-\pi ,& n\text{=3,7,11,15...}\\ 0,& \text{other}\end{array}$

$x(t)$的頻譜

由於${\theta }_n$只有0與$-\pi$兩個可能，故可將振幅頻譜與相位頻譜合併，如下：

圖出處©B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

範例4.11

試求三角波週期訊號$x(t)$的三角傅立葉級數。

圖出處©B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

【解】

$x(t)$的基本週期$T_0=2\Rightarrow {\omega }_0=\frac{2\pi }{T_0}=\pi$

$x(t)=a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[a_{n}cosn\pi t+b_{n}sinn\pi t]$

由圖形知，積分範圍可取$t=\frac{-1}{2}$到$t=\frac{3}{2}$，此時

$x(t)=2At,\left|t\right|\le \frac{1}{2}$ and $x(t)=2A(1-t),\frac{1}{2}<t\le \frac{3}{2}$

(1)$a_0=0\leftarrow x(t)$的平均值為0

(2)$a_n=\frac{2}{T_0}\underset{T_0}{\overset{}{\int }}x(t)cosn\pi tdt$

=$\frac{2}{2}\underset{\frac{-1}{2}}{\overset{\frac{3}{2}}{\int }}x(t)cosn\pi tdt$

=$\underset{\frac{-1}{2}}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}2Atcosn\pi tdt+\underset{\frac{1}{2}}{\overset{\frac{3}{2}}{\int }}2A(1-t)cosn\pi tdt=0\to$說明:可用函數的奇偶對稱性看出

$b_n=\frac{2}{T_0}\underset{T_0}{\overset{}{\int }}x(t)sin(n\pi t)dt$ =$\frac{2}{2}\underset{\frac{-1}{2}}{\overset{\frac{2}{3}}{\int }}x(t)sin(n\pi t)dt$ =$\underset{\frac{-1}{2}}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}2Atsin(n\pi t)dt+\underset{\frac{1}{2}}{\overset{\frac{3}{2}}{\int }}2A(1-t)sin(n\pi t)dt$

$\frac{8A}{n^2{\pi }^2}sin\frac{n\pi }{2}=\{\begin{array}{cc}0,& \text{if }n\text{ is even}\\ \frac{8A}{n^2{\pi }^2},& n\text{=1,5,9,13...}\\ \frac{-8A}{n^2{\pi }^2},& n\text{=3,7,11,15...}\end{array}$

$x(t)=\frac{8A}{{\pi }^2}[sin\pi t-\frac{1}{9}sin3\pi t+\frac{1}{25}sin5\pi t-\frac{1}{49}sin7\pi t+...]$

利用$\pm sinkt=cos(kT\mp 90^{\circ })$

=$\frac{8A}{{\pi }^2}[cos(\pi t-90^{\circ })+\frac{1}{9}cos(3\pi t+90^{\circ })+\frac{1}{25}cos(5\pi t-90^{\circ })+\frac{1}{49}cos(7\pi t+90^{\circ })]$

單邊頻譜

注意：偶次諧波(harmonic)消失，只有奇次諧波存在。

圖出處©G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

函數對稱性的影響

假設$f(t)$為偶對稱(even symmetrical)

$a_0=\frac{1}{T_0}\underset{\frac{-T_0}{2}}{\overset{\frac{T_0}{2}}{\int }}f(t)dt=\frac{2}{T_0}\underset{0}{\overset{\frac{T_0}{2}}{\int }}f(t)dt$

$a_n=\frac{2}{T_0}\underset{\frac{-T_0}{2}}{\overset{\frac{T_0}{2}}{\int }}f(t)cosn{\omega }_{0}tdt=\frac{4}{T_0}\underset{0}{\overset{\frac{T_0}{2}}{\int }}f(t)cosn{\omega }_{0}tdt$

$b_n=\frac{2}{T_0}\underset{\frac{-T_0}{2}}{\overset{\frac{T_0}{2}}{\int }}f(t)sinn{\omega }_{0}tdt=0$

假設$f(t)$為奇對稱(odd symmetrical)

$a_0=\frac{1}{T_0}\underset{\frac{-T_0}{2}}{\overset{\frac{T_0}{2}}{\int }}f(t)dt=0$

$a_n=\frac{2}{T_0}\underset{\frac{-T_0}{2}}{\overset{\frac{T_0}{2}}{\int }}f(t)cosn{\omega }_{0}tdt=0$

$b_n=\frac{2}{T_0}\underset{\frac{-T_0}{2}}{\overset{\frac{T_0}{2}}{\int }}f(t)sinn{\omega }_{0}tdt=\frac{4}{T_0}\underset{0}{\overset{\frac{T_0}{2}}{\int }}f(t)sinn{\omega }_{0}tdt$

假設$f(t)$為半波奇對稱(half-wave odd symmetrical) ， 即

$f(t-\frac{T_0}{2})=-f(t)$

$\Rightarrow$所有偶次諧波皆為0

Note：以上兩個範例均可視為半波奇對稱或半波奇對稱的變形。

Gibbs 現象

由前面範例知，週期方波$f(t)$的傅立葉級數如下：

$f(t)=\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi }(cost-\frac{1}{3}cos3t+\frac{1}{5}cos5t-\frac{1}{7}+...)$

下圖分別是取第1項(a) ，前2項之和(b) ，前3項之和(c) ，前4項之和(d)以及前11項之和(e)的圖形：

圖出處©B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

根據傅立葉級數的原理，取無窮多項的和〝應該〞和$f(t)$完全相等。

但上圖可知：

(1) 波形中存在振盪(oscillatory)的現象。

(2) 在不連續點的兩側存在有大小約9%的越位(overshoot) 。

Gibbs證實： 即使取無窮多項的和，此一9%的越位現象仍存在，只是會非

常靠近不連續點。後人稱為Gibbs現象(Gibbs phenomenon)