國中數學/國中數學七年級/3-1 一元一次式

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Template:Header2 生活中有許多具有關係的量,如:

  • 一瓶紅茶比一瓶水還貴15元。
  • 泳馨身上的錢是慧琦3倍。
  • 在籃球比賽中,你的得分與你投進幾個兩分球、幾個三分球和幾個罰球有關。
  • 華氏溫度等於攝氏溫度的95倍多32度。
  • 商家賺錢,代表他們的收入比成本還多;商家賠錢,代表他們的收入比成本還少。

為了表示這些關係,通常我們會寫成數學式子。在以前國小的時候我們使用()、□、甲、乙……等等符號表示,在國中階段以後,我們習慣上使用xyz……等英文字母表示。例如:

  • 一瓶紅茶比一瓶水還貴15元,若假設一瓶水x元,則一瓶紅茶(x+15)元。
  • 泳馨身上的錢是慧琦3倍,若假設慧琦身上的錢為y元,則泳馨身上的錢有(y×3)元。
  • 綺綺在籃球比賽投進x顆兩分球,y顆三分球,沒有投進罰球,則綺綺得到(x×2+y×3)分。
  • 攝氏x度等於華氏(95×x+32)度。
  • 阿慧炸雞攤今天賺進6000元,若阿慧炸雞攤經營的成本為y元,則阿慧炸雞攤今天的收入為(y+6000)元。

我們在本節特別要針對只有一個未知數的式子進行介紹,並且說明如何化簡式子。

式子的簡記

因為x實在太容易與乘法記號×混淆,所以我們會使用代替×,甚至省略不寫,把數字擺在英文字母前面

 Example:x×8=x8=8x

文字符號乘以1、-1與0

  1. 因為任何數乘以1都等於自己,所以1×x=x×1=x
  2. 因為任何數乘以1都等於它的相反數,所以(1)×x=x×(1)=x
  3. 因為任何數乘以0都等於0,所以0×x=x×0=0

文字符號與分數乘法的簡記

文字符號與分數乘法的簡記如同上述一樣,不過也可以將文字符號直接擺在分子數字後方

 Example:x×34=x34=34x=3x4

除法算式的簡記

因為除以一個數等於乘以一個數的倒數,所以可以先將除法算式改成乘法算式再進行簡記。

 Example:x÷34=x×43=43x=4x3

必須注意的事

  1. 數字與數字之間的乘號不可以省略,只能用代替。
    • Example:3×5=35,但不能寫作35
  2. 加號(+)與減號()不可以省略
    • Example:x+5不能省略寫作x52x7不能省略寫作2x7
  3. 未知數x的倒數為1x,但前提是x0

四則運算的簡記

  1. 加號(+)與減號()不能省略。
  2. 乘號可以用表示,或直接省略。
  3. 除號可以改寫成乘號再省略。
  4. 也是要滿足基本四則運算規則。

Template:ExampleRobox簡記下列各式:
(1)15x×14
(2)(2y+7)÷49 Template:Robox/Close Template:Robox(1)15x×14=1514x(或15x4)
(2)(2y+7)÷49=(2y+7)×94=94(2y+7)(或9(2y+7)4)
Template:Robox/Close 習題1
簡記下列各式。
(1)12+x×37[解答 1]
(2)(5x7)÷3[解答 2]

式子的值

  • 一瓶紅茶比一瓶水還貴15元,若假設一瓶水x元,則一瓶紅茶(x+15)元。
    1. 如果一瓶水10元(也就是說x=10),則一瓶紅茶10+15=25元。
    2. 如果一瓶水15元(也就是說x=15),則一瓶紅茶15+15=30元。

像這樣如果知道未知數xy的值之後,我們就可以代入式子中,知道式子代表的值是多少。

Template:ExampleRoboxx=5,則3x6x+32x+86所代表的值分別是多少? Template:Robox/Close Template:Robox(1)3x=3×5=15

小提醒
在算式子的值時,若看到數字後面直接出現文字符號(x),記得是省略了乘號(×)喔!

(2)6x+3=6×5+3=30+3=33
(3)2x+86=2×5+86=186=3
Template:Robox/Close Template:ExampleRobox式子x+435x=0x=3x=4所代表的值分別是多少? Template:Robox/Close Template:Robox(1)x=0時,x+435=0+435=435=113
(2)x=3時,x+435=3+435=735=83
(3)x=4時,x+435=4+435=035=5
Template:Robox/Close 習題2
請完成下列表格。[解答 3]

式子
x=4
x=35
x=9
3x
27
53x+3
2x+14
94

式子的化簡

x+152y3x+435這樣只有一個未知數(一元)而且最高次方為一次的式子,我們稱作一元一次式

一元一次式未知數的位置

一個一元一次式的未知數[註 1]

  1. 不可以在分母,但是可以放在分子。如:3x不是一元一次式,但x3是一元一次式。
  2. 不可以有一個以上不同的未知數。如:2x+3y不是一元一次式。
  3. 不可以放在絕對值裡。如:|x2|不是一元一次式。
  4. 不可以放在次方的位置。如:3x不是一元一次式。
  5. 未知數不可以高於一次方。如:x3+3x不是一元一次式。

小測

<quiz>

{哪一個是一元一次式?(單選) |type="()"} + 3x+15 - 53x+1 - 5x3x+1

{哪一個是一元一次式?(單選) |type="()"} - |3x+1| - |3x|+1 + |3|x+1

{哪一個是一元一次式?(單選) |type="()"} - 2x2+3 + 2x+32 - (2x+3)2

{哪一個是一元一次式?(單選) |type="()"} - 3x+5y + 7a+9a - 5mn

</quiz>

關於一元一次式的名詞

以下是一元一次式的相關名詞[註 2]

名稱
說明
3x7為例子
用加號連接的各部分
因為3x7=3x+(7),所以3x7都稱作3x7的項。
一次項(或x項)[註 3]
有出現一次未知數的項
因為3x有出現未知數x,所以3x7的一次項為3x
常數項
沒有出現任何未知數的項
因為7沒有出現未知數,所以3x7的常數項為7
係數
未知數前面的數字或是常數項
3x中,未知數前面的數字為3,所以稱33x7的一次項係數(或x項係數[註 4])。
單項式
只有單一一個項的式子
3x只有一項,所以為單項式。
同類項
具有相同的未知數,而且次方數也相同兩個項
3x3y的未知數不相同,所以它們不是同類項;3x13x17的未知數相同,次數也都是1,所以它們是同類項。

小測

<quiz> {7x+12的一次項係數是多少?(單選) |type="()"} - 7 + 7 - 12 - 12

{2+7z的常數項為何?(單選) |type="()"} + 2 - 2 - 7 - 7

{5k73k項為何?(單選) |type="()"} - 5k - 5 + 53k - 53

{56y有哪些項?(複選) |type="[]"} + 5 - 6 - 6y + 6y

{哪些為7y的同類項?(複選) |type="[]"} - 7x + 0.3y + y5 - 3y+1 - y+7 </quiz>

式子的基本化簡

式子的加減

式子的加減運用分配律
分配律:ax+bx=(a+b)xaxbx=(ab)x

  • Example:3x+12x=[(3)+12]x=9x37y521y=(37521)y=(921521)y=421y

【註解】只有同類項才能做加減的合併。

習題3
化簡下列各式:
(1)13y+(24y)[解答 4]
(2)(13x)14x[解答 5]
(3)2.9b3.2b[解答 6]

式子的乘除

式子的乘除運用結合律
結合律:a(bx)=(ab)x(ax)×b=ab×x=(ab)x

  • Example:(5x)3=(53)x=15x

【註解】化簡除法式子時,要多運用除以一個數,等於乘以一個數的倒數

  • Example:(5x)÷3=(5x)×13=(513)x=53x


習題4
化簡下列各式:
(1)(3y)×(8)[解答 7]
(2)(13x)÷27[解答 8]
(3)(92)×(43a)[解答 9]

去括號規則

  1. (ax+b)=axb
  2. (axb)=ax+b
  3. (ax+b)=axb
  4. (axb)=ax+b

習題5
從參考選項中找出以下各式化簡之後的式子,並將代號填入框框中。[解答 10]

參考選項
(A)5x11
(B)5x+11
(C)5x+11
(D)5x11
題號
題目
答案
(1)
(5x+11)
(2)
(5x11)
(3)
(5x+11)
(4)
(5x11)

式子與分配律

  1. a(bx+c)=(ab)x+(ac)
    • Example:5(3x+1)=[5×(3)]x+(5×1)=15x+5
  2. a(bxc)=(ab)x(ac)
    • Example:3(4x2)=[3×(4)]x[(3)×2]=12x(6)=12x+6


習題6
化簡下列各式:
(1)3(y8)[解答 11]
(2)14(87x+125)[解答 12]
(3)23(3a+5)[解答 13]

式子的進階化簡

式子四則運算

利用去括號規則加法結合律同類項合併Template:ExampleRobox化簡下列各式:
(1) (3x+7)+(5x3)
(2) (5x3)(11x+2) Template:Robox/Close Template:Robox(1) (3x+7)+(5x3)
=3x+7+5x3(去括號規則)
=(3x+5x)+(73)(合併同類項)
=8x+4
(2) (5x3)(11x+2)
=5x311x2(去括號規則)
=(5x11x)+(32)(合併同類項)
=6x5
Template:Robox/Close 習題7
化簡下列各式:
(1) (9x+13)+(3x+7)[解答 14]
(2) (8x+12)(x+9)[解答 15]

當前面乘以一個常數時,應該先乘進去式子中,再進行化簡。 Template:ExampleRobox化簡下列各式:
(1) 2(x5)+3(2x+1)
(2) (5x+3)5(x+7) Template:Robox/Close Template:Robox(1) 2(x5)+3(2x+1)
=2x10+6x+3(去括號規則)
=(2x+6x)+(10+3)(合併同類項)
=8x7
(2) (5x+3)5(x+7)
=(5x+3)(5x+35)
=5x+35x35(去括號規則)
=(5x5x)+(335)(合併同類項)
=32
Template:Robox/Close 習題8
化簡下列各式:
(1) 2(x+4)+3(2x3)[解答 16]
(2) 5(2x+4)6(3x+2)[解答 17]

多重括號型的式子

由小括號中括號大括號依序化簡。 Template:ExampleRobox化簡下列各式:
(1) 2(2x+7)3[(x+7)+(3x1)]
(2) 5x{2[3(4x+5)7]+2x} Template:Robox/Close Template:Robox(1) 2(2x+7)3[(x+7)+(3x1)]
=(4x+14)3[4x+6]
=(4x+14)12x18
=(4x12x)+(1418)
=8x4
(2) 5x{2[3(4x+5)7]+2x}
=5x{2[12x+157]+2x}
=5x{2[12x+8]+2x}
=5x{24x+16+2x}
=5x{26x+16}
=5x26x16
=21x16
Template:Robox/Close 習題9
化簡下列各式:
(1) (5x13)+2[3(2x+7)+2(x+4)][解答 18]
(2) (7x+1)+{5[(3x)(3x+2)]+(2x+1)}[解答 19]

分數型的式子

先將式子用括號括住,分母通分,將分子利用上述方式進行化簡。 Template:ExampleRobox化簡下列各式:
(1) 4x+13+3x52
(2) 5x242x+16 Template:Robox/Close Template:Robox(1)4x+13+3x52
=(4x+1)3+(3x5)2
=2(4x+1)6+3(3x5)6
=2(4x+1)+3(3x5)6
=8x+2+9x156
=17x136
(2) 5x242x+16
=(5x2)4(2x+1)6
=3(5x2)122(2x+1)12
=3(5x2)2(2x+1)12
=15x64x212
=11x812
Template:Robox/Close 習題10
化簡下列各式:
(1) 4x+15+x23[解答 20]
(2) 2x133x+59[解答 21]

課外連結

註解

  1. 未知數也不可以放在根號裡。如:x+1
  2. 這些名稱也適用於多項式
  3. 如果是以未知數y為主,我們就稱作y項;以英文字母「?」為主,我們就稱作「?項」,但基本上都可以稱作一次項
  4. 如果是以未知數y為主,我們就稱作y項係數;以英文字母「?」為主,我們就稱作「?項係數」,但基本上都可以稱作一次項係數

習題解答

  1. 習題1.(1)12+37x(或12+3x7)
  2. 習題1.(2)13(5x7)(或5x73)
  3. 習題2.
    式子
    x=4
    x=35
    x=9
    3x
    12
    95
    27
    53x+3
    293
    4
    12
    2x+14
    94
    1120
    174
  4. 習題3.(1)11y
  5. 習題3.(2)712x
  6. 習題3.(3)0.3b
  7. 習題4.(1)24y
  8. 習題4.(2)76x
  9. 習題4.(3)6a
  10. 習題5.
    題號
    題目
    答案
    (1)
    (5x+11)
    (D)
    (2)
    (5x11)
    (C)
    (3)
    (5x+11)
    (A)
    (4)
    (5x11)
    (B)
  11. 習題6.(1)3y24
  12. 習題6.(2)27x35
  13. 習題6.(3)2a+103
  14. 習題7.(1)6x+20
  15. 習題7.(2)9x+3
  16. 習題8.(1)4x1
  17. 習題8.(2)28x+8
  18. 習題9.(1)3x+45
  19. 習題9.(2)19x+7
  20. 習題10.(1)17x715
  21. 習題10.(2)9x89