國中數學/國中數學七年級/3-3 一元一次方程式的應用問題

Template:Header2 本章節針對前一個單元所教的一元一次方程式，提供一些常見的應用問題。

一元一次方程式的應用問題解題步驟

1. 假設未知數。
2. 依題意列出一元一次方程式。
3. 解一元一次方程式。
4. 驗算、檢查解是否合乎情境。
5. 寫答，若沒有符合情境則回答「無解」。

價錢問題

簡易價格問題

Template:ExampleRobox宇蓁到便利商店買$2$個相同價錢的御飯糰和$1$瓶$42$元的優酪乳，在沒有任何促銷優惠下，總共花了$108$元。請問宇蓁買的御飯糰每個幾元？ Template:Robox/Close Template:Robox

步驟	過程與內容
1.假設未知數	設宇蓁買的御飯糰每個$x$元。
2.依題意列出一元一次方程式	宇蓁買$2$個御飯糰，要花$2x$元，再加上優酪乳$42$元，宇蓁需要花$2x+42$元，根據題意，宇蓁實際花了$108$元，可以列出一元一次方程式$2x+42=108$。
3.解一元一次方程式。	$2x+42=108\Rightarrow 2x=66\Rightarrow x=33$
4.驗算、檢查解是否合乎情境。	$2\times 33+42=66+42=108$，故$x=33$為$2x+42=108$的解，而$x=33$符合情境，故每個御飯糰$33$元。
5.寫答	答：每個御飯糰$33$元。

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兩物件價格問題

Template:ExampleRobox冰涼飲料店每杯古早味紅茶比每杯珍珠奶茶便宜$20$元。億賢到冰涼飲料店買了$3$杯古早味紅茶和$4$杯珍珠奶茶，總共花了$185$元，請問冰涼飲料店每杯珍珠奶茶多少元？ Template:Robox/Close Template:Robox

步驟	過程與內容
1.假設未知數	設冰涼飲料店每杯珍珠奶茶$x$元，則每杯古早味紅茶$(x-20)$元。
2.依題意列出一元一次方程式	買$3$杯古早味紅茶，要付$3(x-20)$元； 買$4$杯珍珠奶茶，要付$4x$元，總共要花$3(x-20)+4x$元， 又實際花了$185$元，故可以列出一元一次方程式$3(x-20)+4x=185$。
3.解一元一次方程式。	$3(x-20)+4x=185\Rightarrow 3x-60+4x=185\Rightarrow 7x=245\Rightarrow x=35$
4.驗算、檢查解是否合乎情境。	$3\times (35-20)+4\times 35=3\times 15+140=45+140=185$，故$x=35$為$3(x-20)+4x=185$的解，而$x=35$符合題意，故每杯珍珠奶茶$35$元。
5.寫答	答：每杯珍珠奶茶$35$元。

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分配問題

一般來說，分配問題通常會假設「每人分配數量」為$x$，並利用「要分配物的數量」列出一元一次方程式。 Template:ExampleRobox珮瑜買了一袋巧克力要請全班吃。如果每人分$5$顆時會多出$12$顆，但每人分$7$顆時則會少$28$顆，則珮瑜班上有多少人？ Template:Robox/Close Template:Robox

步驟	過程與內容
1.假設未知數	設珮瑜班上總共有$x$人。
2.依題意列出一元一次方程式	珮瑜每人分$5$顆巧克力時，總共需要$5x$顆，再加上剩餘的$12$顆，這袋巧克力總共有$5x+12$顆； 珮瑜每人分$7$顆巧克力時，總共需要$7x$顆，但因為不夠$28$顆，所以這袋巧克力只有$7x-28$顆。 兩種算法巧克力的數量應該一樣，故可以列出一元一次方程式$5x+12=7x-28$。
3.解一元一次方程式。	$5x+12=7x-28\Rightarrow 5x-7x=-28-12\Rightarrow -2x=-40\Rightarrow x=20$
4.驗算、檢查解是否合乎情境。	$5\times 20+12=112$且$7\times 20-28=112$，故$x=20$為$5x+12=7x-28$的解，而$x=20$符合題意，故珮瑜班上總共有$20$人。
5.寫答	答：珮瑜班上總共有$20$人。

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Template:ExampleRobox廣祈與義偉為一對兄弟，媽媽每週都會給他們總共$1000$元當作零用錢，但是因為義偉上一週比較不聽話，所以媽媽在這週分給義偉的錢是廣祈的$\frac{2}{3}$倍還少$50$元，則廣祈這週的零用錢為多少元？ Template:Robox/Close Template:Robox

步驟	過程與內容
1.假設未知數	設廣祈有$x$元的零用錢，而義偉的零用錢為廣祈的$\frac{2}{3}$倍還少$50$元，所以義偉的零用錢有$\frac{2}{3}x-50$元。
2.依題意列出一元一次方程式	兩人總共有$1000$元，故可以列出一元一次方程式$x+(\frac{2}{3}x-50)=1000$。
3.解一元一次方程式。	$x+(\frac{2}{3}x-50)=1000\Rightarrow \frac{5}{3}x-50=1000\Rightarrow \frac{5}{3}x=1050\Rightarrow x=630$
4.驗算、檢查解是否合乎情境。	$630+(\frac{2}{3}\times 630-50)=630+(420-50)=630+370=1000$，故$x=630$為$x+(\frac{2}{3}x-50)=1000$的解，而$x=630$符合題意，故廣祈的零用錢有$630$元。
5.寫答	答：廣祈本週的零用錢有$630$元。

速率問題

速率問題的根本為「距離$=$時間$\times$速率」。底下會一一說明。 Template:ExampleRobox彤雯和朋友一起去爬山，她們來回走相同的山路，已知她們上山的速率為每小時$3$公里，下山的速率為每小時$5$公里，她們來回一趟總共花了$5$小時。請問她們爬的山路長度為多少公里？ Template:Robox/Close Template:Robox假設山路長$x$公里，因為我們知道速率與距離(我們假設的)，故我們應該用$x$表示上下山的時間。
由上山速率為每小時$3$公里與距離$=$時間$\times$速率可知上山時間$=x÷3=\frac{x}{3}$小時；
同理，由下山速率為每小時$5$公里與距離$=$時間$\times$速率可知下山時間$=x÷5=\frac{x}{5}$小時。
而總時間為$5$小時，所以可以列出一元一次方程式$\frac{x}{3}+\frac{x}{5}=5$。
解$\frac{x}{3}+\frac{x}{5}=5$可以同乘$15$得到$5x+3x=75\Rightarrow 8x=75\Rightarrow x=\frac{75}{8}$，
故山路長$\frac{75}{8}$公里。
答案：$\frac{75}{8}$公里。 Template:Robox/Close
Template:ExampleRobox仕杰每天以固定速率騎腳踏車走相同的路程去上課，他需要花$15$分鐘才能到學校，但如果他把時速提升$5$公里，則他可以提早$5$分鐘到學校。請問仕杰平時固定以每小時多少公里的速度騎腳踏車到學校？ Template:Robox/Close Template:Robox假設仕杰每天以時速$x$公里上學，因為我們知道仕杰的速率與時間，故我們應該用$x$表示距離。
因為原本的速率為時速$x$公里，所以他上學的距離原本是$\frac{15x}{60}=\frac{x}{4}$公里，而增加時速為$(x+5)$公里，所以他上學的距離利用新速率算是$\frac{10(x+5)}{60}=\frac{x+5}{6}$公里。都是相同路程，所以可以列出一元一次方程式$\frac{x}{4}=\frac{x+5}{6}$。
解$\frac{x}{4}=\frac{x+5}{6}$可以同乘$12$得到$3x=2(x+5)\Rightarrow 3x=2x+10\Rightarrow x=10$，
故仕杰每天以時速$10$公里的速度上學。
答案：時速$10$公里。 Template:Robox/Close
你注意到了嗎？簡單來說，速率問題一定會有一個(距離、時間、速率)是知道的，其中一個是你假設的，所以利用這兩個關係找出第三個，就能夠作速率問題嘍！

年齡問題

年齡問題的核心在於年齡問題是共進退的，一個增加幾歲，另外一個也會增加幾歲；同理，一個減少幾歲，另外一個也會減少幾歲。另外，兩人在每一個年度的年齡差是相等的。 Template:ExampleRobox阿姨和冠群今年相差$28$歲。五年前，阿姨的年齡是冠群的$3$倍少$4$歲，則阿姨今年幾歲？ Template:Robox/Close Template:Robox假設阿姨五年前$x$歲，則冠群五年前$(x-28)$歲，
又已知當時阿姨的年齡是冠群的$3$倍少$4$歲，故可以列出一元一次方程式$x=3(x-28)-4$。
解$x=3(x-28)-4$先展開再移項化簡可得$x=3x-84-4\Rightarrow -2x=-88\Rightarrow x=44$
故阿姨今年$44+5=49$歲。
答案：阿姨今年$49$歲。 Template:Robox/Close

幾何問題

解幾何問題有的時候會需要使用一元一次方程式來解題。這類的問題會使用幾何圖形的基本性質列出等式，之後解出未知數。常見的幾何性質有：

• 三角形內角和$180$度，外角和$360$度。
• 面積公式。
  1. 長方形面積公式為長$\times$寬。
  2. 平行四邊形的面積公式為底$\times$高。
  3. 三角形面積公式為$\frac{1}{2}\times$底$\times$高。
  4. 梯形面積公式為$\frac{1}{2}\times ($上底$+$下底$)\times$高。
• 周長公式。
  1. 正方形周長公式為邊長$\times 4$。
  2. 長方形周長公式為$($長$+$寬$)\times 2$。
  3. 平行四邊形周長公式為鄰邊之和$\times 2$。
  4. 正多邊形周長公式為邊長$\times$邊數。
  5. 圓形周長公式為半徑$\times 2\times$圓周率$=$直徑$\times$圓周率。

Template:ExampleRobox有一個梯形，它的面積為$72$平方公分，其中上底比下底長$4$公分，高為$8$公分，則此梯形的上底為多少公分？ Template:Robox/Close Template:Robox假設梯形上底為$x$公分，下底為$x-4$公分，因為已知高與面積，故可以列出一元一次不等式$\frac{1}{2}\times [x+(x-4)]\times 8=72\Rightarrow (2x-4)\times 8=144\Rightarrow 2x-4=18\Rightarrow 2x=22\Rightarrow x=11$，故上底為$11$公分。
答案：$11$公分 Template:Robox/Close

數學魔術

有些數學魔術可以利用一元一次方程式來解題。此類問題會先假設原本的數字為$x$，然後依據魔術過程列出等式，再解$x$求得對方心裡想的數。有時也會利用到一元一次式的化簡，因為原本的式子只是恆等式，所以必定會獲得某一種結果。 Template:ExampleRobox平次想要展示魔術給和葉。平次請和葉先想一個大於$10$的二位數，然後將這個數先乘以$5$，然後減去$4$，答案再乘以$2$，和葉的結果為$152$，則和葉心裡想的數是多少？ Template:Robox/Close Template:Robox假設和葉想的數是$x$，依題意，先乘以$5$得到$5x$，然後減去$4$得到$5x-4$，最後再乘以$2$得到$2(5x-4)$，而這個數是$152$，所以列出一元一次方程式$2(5x-4)=152$。展開得$10x-8=152$，移項得$10x=160$，$x=16$，和葉想的數是$16$。 Template:Robox/Close 上面這個例題的魔術變法就是只要她的答案前兩位數加$1$就是答案。

習題
請你自己設計一個數學魔術！這個數學魔術至少要讓參加者做三個步驟以上。

不合理的解

在解應用問題的時候要注意有的時候答案可能會出現不合理的情況。如爸爸的年紀小於兒子、人數為非正整數、邊長為負數等等。這時，我們會稱此應用問題沒有合理的解。 Template:ExampleRobox若四個連續奇數的和是$60$，試求出此四個連續奇數分別是多少？ Template:Robox/Close Template:Robox設最小的奇數為$x$，則另外三數分別是$(x+2)$、$(x+4)$與$(x+6)$，

注意
任意兩個連續奇數都相差$2$。

依題意可以列出一元一次方程式$x+(x+2)+(x+4)+(x+6)=60$，
化簡得$4x+12=60\Rightarrow 4x=48\Rightarrow x=12$，但$x$為奇數，故不合，此題無解。 Template:Robox/Close