國中數學/國中數學七年級/4-1 二元一次方程式

Template:Header2 生活當中，常常會發生兩個變數在變動的情形。舉例來說：

這個時候，如果只有設一個未知數感覺又不太實際。所以在這一節，我們要介紹由兩個未知數所構成的二元一次式，並進一步地介紹二元一次方程式，在4-2 解二元一次聯立方程式進一步會去解兩個未知數的式子。

二元一次式

以剛剛舉的例子為例：

若班上有 $a$ 位男學生和 $b$ 位女學生，則全班有 $(a + b)$ 位學生。
小琪買早餐花了x枚五元硬幣和y枚十元硬幣，
1. $x$ 枚五元硬幣的價值為 $5 x$ 元。
2. $y$ 枚十元硬幣的價值為 $10 y$ 元。
3. 所以小琪買早餐花了 $(5 x + 10 y)$ 元。
動物園入園半票每張x元，全票每張y元，雨辰一家人到動物園玩，總共買了2張半票和4張全票，又
1. 半票每張 $x$ 元，買 $2$ 張要 $2 x$ 元。
2. 全票每張 $y$ 元，買 $4$ 張要 $4 y$ 元。
3. 所以雨辰一家人的門票費為 $(2 x + 4 y)$ 元。

以上出現的式子 $a + b$ 、 $5 x + 10 y$ 、 $2 x + 4 y$ 這種出現兩個未知數，而且未知數的次方都是 $1$ 的式子我們稱作二元一次式。
這邊要注意一些不是二元一次式的情況：

跟一元一次式類似，以下是二元一次式的常用名詞：

名稱	說明	以 $3 x - 4 y + 7$ 為例子
項	用加號連接的各部分	因為 $3 x - 4 y + 7 = 3 x + (- 4 y) + 7$ ，所以 $3 x$ 、 $- 4 y$ 與 $7$ 都稱作 $3 x - 4 y + 7$ 的項。
$x$ 項與 $y$ 項	有出現一次未知數 $x$ 或 $y$ 的項。	因為 $3 x$ 有出現未知數 $x$ ，所以 $3 x - 4 y + 7$ 的 $x$ 項為 $3 x$ ；因為 $- 4 y$ 有出現未知數 $y$ ，所以 $3 x - 4 y + 7$ 的 $y$ 項為 $- 4 y$ 。
常數項	沒有出現任何未知數的項	因為 $7$ 沒有出現未知數，所以 $3 x - 4 y + 7$ 的常數項為 $7$ 。
係數	未知數前面的數字或是常數項	在 $3 x$ 中，未知數 $x$ 前面的數字為 $3$ ，所以稱 $3$ 為 $3 x - 4 y + 7$ 的 $x$ 項係數；在 $- 4 y$ 中，未知數 $y$ 前面的數字為 $3$ ， $- 4$ 為 $3 x - 4 y + 7$ 的 $y$ 項係數。
單項式	只有單一一個項的式子	$3 x$ 只有一項，所以為單項式。
同類項	具有相同的未知數，而且次方數也相同的兩個項	$3 x$ 與 $3 y$ 的未知數不相同，所以它們不是同類項； $3 x$ 與 $- \frac{13 x}{17}$ 的未知數相同，次數也都是 $1$ ，所以它們是同類項。

<quiz> { $4 y - 7 x + 12$ 的 $x$ 項係數是多少？(單選) |type="()"} - $4$ - $7$ + $- 7$ - $12$

{哪一個選項的 $y$ 項係數是 $5$ ？(單選) |type="()"} + $4 x + 5 y - 7$ - $5 x - 4 y + 6$ - $- x + 7 y + 5$ - $3 x - 5 y - 2$

{哪一組為同類項？(單選) |type="()"} - $4 x$ 與 $4 y$ - $7$ 與 $5 y$ + $- 7 y$ 與 $12 y$ - $3 x + 4 y$ 與 $4 x + 3 y$ </quiz>

二元一次式的運算如同一元一次式的運算相同，只是多了一個未知數而已。

二元一次式的加減運算：利用同類項合併與去括號規則。
1. 同類項合併：將相同未知數的係數相加(減)。如： $5 y + 2 y = (5 + 2) y = 7 y$ ； $5 x - 3 x = (5 - 3) x = 2 x$ ，本質上為分配律。
2. 去括號規則：括號外為加號，則括號內的運算符號不用改變；括號外為減號，則括號內的運算符號加改減，減改加。如： $- (5 x + 2 y) = - 5 x - 2 y$ ； $- (- 5 x - 3 y) = 5 x + 3 y$ ^{[註 1]}。
二元一次式的係數積：利用分配律。
- 如：
  1. $3 (2 x - 4 y + 5) = 3 \times (2 x) - 3 \times (4 y) + 3 \times 5 = 6 x - 12 y + 15$ ；
  2. $- 4 (3 x - 2 y - 6) = (- 4) \times (3 x) - (- 4) \times (2 y) - (- 4) \times 6 = - 12 x - (- 8 y) - (- 24) = 12 x + 8 y + 24$ 。
分數型的運算：通分。
- 如：
  - $\frac{3 x + 2 y - 4}{3} - \frac{2 x + 5 y - 4}{2} = \frac{6 x + 4 y - 8}{6} - \frac{6 x + 15 y - 12}{6} = \frac{(6 x + 4 y - 8) - (6 x + 15 y - 12)}{6} = \frac{- 11 y + 4}{6}$

當一個方程式可以整理成 $a x + b y + c = 0$ ，其中 $a, b, c$ 為任何數，則我們稱這樣的式子為二元一次方程式。^{[註 2]}
以下是一些例子：

$3 x + 4 y = 5$ 是二元一次方程式，因為 $3 x + 4 y = 5$ 可以改寫成 $3 x + 4 y - 5 = 0$ 。
$3 x + 4 y = 5 x$ 是二元一次方程式，因為 $3 x + 4 y = 5 x$ 可以改寫成 $3 x + 4 y - 5 x = 0 ⟹ - 2 x + 4 y = 0$ 。
$3 x + 4 y = 5 + 4 y$ 不是二元一次方程式，因為 $3 x + 4 y = 5 + 4 y$ 可以改寫成 $3 x + 4 y - 5 - 4 y = 0 ⟹ 3 x - 5 = 0$ 只有出現一個未知數。