國中數學/國中數學八年級/2-3 畢氏定理

Template:Header2 本單元將介紹畢氏定理。關於其他直角三角形邊長關係，請參見第五冊 1-5 三角比。

直角三角形的兩股及斜邊

圖一。此為一直角三角形。

圖二。由三個正方形組成。每個方格邊長皆為1cm。

定義

有一個$\mathrm{△}ABC$為直角三角形，如圖一。∠$ACB$為該三角形之直角，其鄰邊$a$和$b$被稱為直角三角形的「股」，對邊$c$被稱為直角三角形的「斜邊」。

股及斜邊的關係

請看圖二，每個方格邊長皆為1公分。該圖有3個正方形，分別為$ABCG$、$GEFG$、$GHIA$，而其中還有一個以$\overline{AD}$、$\overline{DG}$、$\overline{AG}$三線段組成的直角$\mathrm{△}ADG$。
仔細觀察會發現：正方形$ABCG$和$GEFG$面積的和與$GHIA$相同。

畢氏定理

由來

由上面的觀察可得出：
正方形$ABCG$面積+正方形$GEFG$面積=正方形$GHIA$面積
$\stackrel{2}{\stackrel{‾}{AD}}+\stackrel{2}{\stackrel{‾}{DG}}=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{AG}}$
而若將直角$\mathrm{△}ADG$拉出，並令兩股分別為$a,b$、斜邊為$c$，則：
$a^2+b^2=c^2(a,b,c>0)$
此即為畢氏定理，也可以稱為畢達哥拉斯定理或勾股定理等，為古希臘數學家畢達哥拉斯所發現。

其他形式

$a^2+b^2=c^2$經過移項後也可以寫成$c^2-b^2=a^2$或$c^2-a^2=b^2$
經過開根號後還可以寫成$\sqrt{a^2+b^2}=c$、$\sqrt{c^2-b^2}=a$、$\sqrt{c^2-a^2}=b$

畢氏數

畢氏數也可以稱為勾股數或商高數等，是指符合畢氏定理的$(a,b,c)$三數。常見$a,b,c$互質的畢氏數有：
$(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41),(20,21,29)$

平面座標上兩點距離

圖三。平面座標上求兩點距離。

今有三個點$A(5,1),B(1,4),C(-1,2)$在直角座標平面上，如圖三。若要求$A$點和$C$點的距離，即為求$\overline{AC}$，可以用這個方法：
1.做兩直線分別通過$A$點和$C$點並分別平行兩軸交於P點 2.做$\overline{AC}$
此時形成一個直角$\mathrm{△}APC$，即可使用畢氏定理
$\stackrel{2}{\stackrel{‾}{AP}}+\stackrel{2}{\stackrel{‾}{CP}}=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{AC}}$
$\Rightarrow |X_P-X_A{|}^2+|Y_P-Y_C{|}^2=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{AC}}$
$\Rightarrow \overline{AC}=\sqrt{(X_P-X_A{)}^2+(Y_P-Y_C{)}^2}$
而$P$點的$X$座標必為$A,C$其中一點的$X$座標，$P$點的$Y$座標必為$A,C$中另一點的$Y$座標，因此公式可以改寫成
$\Rightarrow \overline{AC}=\sqrt{(X_A-X_C{)}^2+(Y_A-Y_C{)}^2}$
此即為兩點距離公式。
將$A,C$點座標帶入可得$\overline{AC}=\sqrt{37}$
同理，若要求$\overline{AB}$，則將$A,B$點座標帶入得$\overline{AB}=5$

習題

習題圖一

習題圖二

1.如習題圖一，已知$\overline{AB}=5$，$\overline{BC}=4$，$\overline{AD}=2$，則$\overline{DC}=?$
(A) $\sqrt{35}$ (B) $\sqrt{37}$ (C) $\sqrt{39}$ (D) $\sqrt{41}$
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答案：(B)
解析：
做$\overline{AV}$，使四邊形$ABCD$分成兩個直角三角形$ABC$與$ADC$，如解析圖一。
根據畢氏定理，
$\begin{array}{cc}& {\overline{AC}}^2={\overline{AB}}^2+{\overline{BC}}^2\\ \Rightarrow & AC=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}\\ & {\overline{AC}}^2={\overline{AD}}^2+{\overline{DC}}^2\\ \Rightarrow & {\sqrt{41}}^2=2^2+{\overline{DC}}^2\\ \Rightarrow & \sqrt{41-4}=\overline{DC}=\sqrt{37}\end{array}$
故選(B)。

解析圖一

2.承上題，四邊形 $ABCD$ 的面積為多少平方單位？
(A) $2\sqrt{37}+10$ (B) $\sqrt{37}+10$ (C) $2\sqrt{41}+10$ (D) $\sqrt{41}+10$
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答案：(B)
解析：
四邊形ABCD面積
$\begin{array}{cc}& =\mathrm{△}ABC+\mathrm{△}ADC\\ & =\frac{4\times 5}{2}+\frac{2\times \sqrt{37}}{2}\\ & =10+\sqrt{37}\end{array}$
故選(B)。

解析圖一

3.如圖，小名拿著3.5m的梯子，在離牆2.8m處斜放於牆邊，唯恐梯子下滑，他又將梯腳往牆的方向推近0.7m，則梯頂上移了多少m？
(A) 0.1 (B) 0.5 (C) 0.7 (D) 2.1 m
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答案：(C)
解析：
$\begin{array}{cc}& \sqrt{(3.5{)}^2-(2.8{)}^2}=2.1\\ & \sqrt{(3.5{)}^2-(2.8-0.7{)}^2}=\sqrt{(3.5{)}^2-(2.1{)}^2}=2.8\\ & 2.8-2.1=0.7(m)\end{array}$
故選(C)。

應用

1.有一個周長為36公分的等腰三角形，其腰長為11公分，求此三角形的面積。

三角形的面積=底×高÷2

底邊的長度，用11減掉36兩次：

36－11－11＝14公分

底邊上的高將底邊分成相等的兩段，一段為7公分，因其腰長為11公分，依畢氏定理，得：

高=$\sqrt{11^2-7^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$公分

面積=$\frac{14\times 6\sqrt{2}}{2}=42\sqrt{2}$平方公分。