微积分学/极限审敛法

極限審斂法

判断敛散性的第一步是極限審斂法。

例1

对以下级数运用極限審斂法

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{n+1}{n}$

解答：因为

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n+1}{n}=1$

极限不为零，所以级数发散。

例2

对以下级数运用極限審斂法

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^2+5n+6}{3n^2+1}$

解答：因为

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n^2+5n+6}{3n^2+1}=\frac{1}{3}$

极限不为零，所以级数发散。

例3

对以下级数运用極限審斂法

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^2+5n+6}{n^3}$

解答：因为

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n^2+5n+6}{n^3}=0$

极限为零，所以需要进一步分析以确定级数敛散性。