微积分学/积分审敛法

积分审敛法

Template:Calculus/Def 积分审敛法实际上是比较审敛法的特例。

如图，曲线为$s(n)$的图像，各矩形面积之和为$\sum _{n=j}^{\mathrm{\infty }}{s}_n$，显然$\sum _{n=j}^{\mathrm{\infty }}{s}_n$小于$\underset{j}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}s(n)dn$，因此若$\underset{j}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}s(n)dn$收敛，则$S$收敛。

如图，曲线为$s(n)$的图像，各矩形面积之和为$\sum _{n=j}^{\mathrm{\infty }}{s}_n$，显然$\sum _{n=j}^{\mathrm{\infty }}{s}_n$大于$\underset{j}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}s(n)dn$，因此若$\underset{j}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}s(n)dn$发散，则$S$发散。

例1

对以下级数运用积分审敛法

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$

解答

反常积分得$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{-1}{n}-\frac{-1}{(1)}$为1，收敛，故级数收敛。

例2

对以下级数运用积分审敛法

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^2+1}{n}$

解答

$\frac{n^2+1}{n}$不满足递减要求。但实际上由极限审敛法便可得级数发散。

例3

对以下级数运用积分审敛法

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n-3{)}^2+1}$

解答

$\frac{1}{(n-3{)}^2+1}$只在$[3,+\mathrm{\infty })$递减，因此级数可改写为$\sum _{n=1}^2\frac{1}{(n-3{)}^2+1}+\sum _{n=3}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n-3{)}^2+1}$，对后一项反常积分得$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\arctan (n-3)$为$\frac{\pi }{2}$，收敛，故级数收敛。Template:BookCat