微积分学/重积分

-{T|zh-hant:重積分}-

直角坐標

例題

四

求 Template:Mvar+Template:Mvar+Template:Mvar= 2、Template:Mvar=2Template:Mvar、Template:Mvar=0 和 Template:Mvar=0 所圍的四面體體積。

$V=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{x/2}{\overset{1-2/x}{\int }}2-x-2ydydx$

五

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{x}{\overset{1}{\int }}\sin y^{2}dydx$

估計

定義

$mA\le \int f(x,y)dA\le MA$

例題

六

用上述定義，估計 $\int e^{\sin x\cos y}dA$，Template:Mvar 為在 xy 面上中心原點，半徑 2 的圓盤。

$\frac{4\pi }{e}\le \int f(x,y)dA\le 4\pi e$

代換法

例題

三

$\underset{R}{\iint }{e}^{\frac{x+y}{x-y}}dA$，Template:Mvar 是頂點 (1,0)、(2,0)、(0,-2)、(0,-1) 所圍的梯形。

$\begin{array}{cc}& \\ & =\frac{3}{4}(e-\frac{1}{e})\end{array}$

習題

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極座標

例題

一

$\underset{R}{\iint }3x+4y^{2}dA$，Template:Mvar 是 Template:Mvar+Template:Mvar=1 和 Template:Mvar+Template:Mvar=4 上半部。

$\begin{array}{cc}& \\ & =\frac{15\pi }{2}\end{array}$

二

求 Template:Mvar=0 和 Template:Mvar=1-Template:Mvar-Template:Mvar 所圍體積。

$\begin{array}{cc}& V=\int 1-x^2-y^{2}dA\\ & =\frac{\pi }{2}\end{array}$

三

求 Template:Mvar=0、Template:Mvar=Template:Mvar+Template:Mvar 和 Template:Mvar+Template:Mvar=Template:Mvar 所圍體積。

$\begin{array}{cc}& V=\int x^2+y^{2}dA\\ & =\frac{3\pi }{2}\end{array}$

習題

Template:See also

圓柱座標

例題

三

由 Template:Mvar=4、Template:Mvar+Template:Mvar=1 和 Template:Mvar+Template:Mvar+Template:Mvar=1 所圍的區域，密度和圓柱軸心距離成比例，求質量。

習題

九

$\underset{E}{\iiint }\sqrt{x^2+y^2}dV$，Template:Mvar 是 Template:Mvar=-5、Template:Mvar=4 和 Template:Mvar+Template:Mvar=16 所圍的區域。

$\begin{array}{cc}& \\ & =384\pi \end{array}$

十一

$\underset{E}{\iiint }{x}^{2}dV$，Template:Mvar 是 Template:Mvar=0、Template:Mvar+Template:Mvar=1 和 Template:Mvar=4Template:Mvar+Template:Mvar) 所圍的區域。

$\begin{array}{cc}& \\ & =\frac{2\pi }{5}\end{array}$

球座標

例題

三

求單位球 $\int e^{{(x^2+y^2+z^2)}^{\frac{3}{2}}}dV$。

$\begin{array}{cc}& \\ & =\frac{4\pi (e-1)}{3}\end{array}$