相對論/E=mc2

基本物理量的定義

	相對論	牛頓力學	說明
速度v(向量)	$\frac{dx}{dt}$	$\frac{dx}{dt}$	位置對時間微分
加速度a(向量)	$\frac{dv}{dt}$	$\frac{dv}{dt}$	速度對時間微分
力F(向量)	$\frac{d(mv)}{dt}$	$ma=m*\frac{dv}{dt}$	動量mv對時間微分， 牛頓力學中$m$為常數
功與能(純量)	$F*dx$	$F*dx$	施力*位移

一、第一組推導：以「微分『功』的定義來主導」

運用 $\frac{d{x}^2}{dx}=2x$ 則 $\frac{dx}{d{x}^2}=\frac{1}{2x}$

(一)微分相對論質量

1. 由 $m=\frac{m_0}{\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}}$ 得 $m^2=\frac{m_0^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{m_0^2}{\frac{c^2-v^2}{c^2}}=\frac{m_0^2{c}^2}{c^2-v^2}$ 移項後得
   $m^2{c}^2-m^2{v}^2=m_0^2{c}^2$ 或 $m^2{c}^2=m_0^2{c}^2+m^2{v}^2$
2. 等號兩邊都對 t 微分，由於 $m_0$ 和 $c$ 都不會隨時間變化，$m_0^2{c}^2$ 對時間微分會得 0 ，所以 $\frac{d(m^2*c^2)}{dt}=\frac{d(m^2*v^2)}{dt}$，化簡得 $d(m^2*c^2)=d(m^2*v^2)$，代入(二)

(二)微分「功」的定義

$d{E}_k=F*dx=\frac{d(m*v)}{dt}dx=d(m*v)*v=\frac{d(m^2{v}^2)}{d((mv{)}^2)}*d(m*v)*v=d(m^2{v}^2)*\frac{d(mv)}{d((mv{)}^2)}*v$
$=d(m^2{v}^2)*\frac{1}{2mv}*v=d(m^2{v}^2)*\frac{1}{2m}=d(m^2{v}^2)*\frac{dm}{d{m}^2}=d(m^2{v}^2)*\frac{dm*c^2}{d{m}^2*c^2}=dm*c^2*\frac{d(m^2{v}^2)}{d(m^2{c}^2)}$由於(一)所以
$=dm*c^2$

(三)動能

對 $d{E}_k$ 積分得相對論動能 $E_k=\underset{m_0}{\overset{m}{\int }}{c}^{2}dm=m{c}^2-m_0{c}^2$

二、第二組推導：以「微分『功』的定義來主導(展開再合併)」

(一)微分「功」的定義

$d{E}_k=F*dx=\frac{d(m*v)}{dt}dx=d(m*v)*v=(dm*v+m*dv)*v=dm*v^2+m*v*dv$
$=\frac{2m*dm*v^2+2m*m*v*dv}{2m}=\frac{2m*dm*v^2+2v*dv*m^2}{2m}=\frac{d(m^2)*v^2+d(v^2)*m^2}{2m}$
$=\frac{d(m^2{v}^2)}{\frac{d(m^2)}{dm}}=dm*\frac{d(m^2{v}^2)}{d(m^2)}=dm*c^2\frac{d(m^2{v}^2)}{c^2*d(m^2)}=dm*c^2\frac{d(m^2{v}^2)}{d(m^2{c}^2)}=dm*c^2$

(二)微分相對論質量

1. 由 $m=\frac{m_0}{\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}}$ 得 $m^2{c}^2-m^2{v}^2=m_0^2{c}^2$ 或 $m^2{c}^2=m_0^2{c}^2+m^2{v}^2$
2. 等號兩邊都對 t 微分，由於 $m_0$ 和 $c$ 都不會隨時間變化，$m_0^2{c}^2$ 對時間微分會得 0 ，所以 $\frac{d(m^2*c^2)}{dt}=\frac{d(m^2*v^2)}{dt}$，化簡得 $d(m^2*c^2)=d(m^2*v^2)$，代入上式
3. 對其積分得相對論動能 $E_k=\underset{m_0}{\overset{m}{\int }}{c}^{2}dm=m{c}^2-m_0{c}^2$

三、第三組推導：兩路並進

(一)微分「功」的定義

$d{E}_k=F*dx=\frac{d(m*v)}{dt}dx=d(m*v)*v=(dm*v+m*dv)*v=dm*v^2+m*v*dv=$相對論質量$=dm*c^2$

(二)微分相對論質量

1. 由 $m=\frac{m_0}{\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}}$ 得 $m^2{c}^2-m^2{v}^2=m_0^2{c}^2$ 或 $m^2{c}^2=m_0^2{c}^2+m^2{v}^2$
2. 等號兩邊都對 t 微分，由於 $m_0$ 和 $c$ 都不會隨時間變化，$m_0^2{c}^2$ 對時間微分會得 0 ，所以 $\frac{d(m^2*c^2)}{dt}=\frac{d(m^2*v^2)}{dt}$，化簡得 $d(m^2*c^2)=d(m^2*v^2)$
3. c 為常數，m、v均為變數，化簡上式得 $d(m^2)*c^2=d(m^2)*v^2+m^2*d(v^2)$
4. 用鏈式法則得 $\frac{d{m}^2}{dm}*dm*c^2=\frac{d{m}^2}{dm}*dm*v^2+m^2*\frac{d(v^2)}{dv}*dv$
5. 化簡上式得 $2m*dm*c^2=2m*dm*v^2+m^2*2v*dv$
6. 三項同除以 2m 得 $dm*c^2=dm*v^2+m*v*dv$
7. 代入第上段式得：$d{E}_k=dm*v^2+m*v*dv=dm*c^2$
8. 對其積分得相對論動能 $E_k=\underset{m_0}{\overset{m}{\int }}{c}^{2}dm=m{c}^2-m_0{c}^2$