综合数学/本书常用公式

初等代数

1. $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +a{b}^{n-2}+b^{n-1})$
2. 二项式定理：

${(a+b)}^n=\sum _{k=1}^n{\text{C}}_n^k{a}^k{b}^{n-k}$

3.  平均值不等式（$a_k>0$；$k=1,2,\cdots ,n$）：

$\sqrt[n]{\prod _{k=1}^n{a}_k}⩽\frac{1}{n}\left(\sum _{k=1}^n{a}_k\right)$

4.  二次方程$a{x}^2+bx+c=0$：

判别式：

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac\{\begin{array}{cc}>0,& \text{两 互 异 实 根 }\\ =0,& \text{两 相 等 实 根 }\\ <0,& \text{两 共 轭 复 根 }\end{array}$

求根公式：

$x_{1,2}=\frac{1}{2a}(-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }})$

5.  数列和：

$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)$

$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

等差数列前$n$项和：

$S_n=\sum _{k=1}^n(a+(k-1)d)=\frac{1}{2}n(2a+(n-1)d)$

等比数列前$n$项和：

$S_n=\sum _{k=1}^{n}a{q}^{n-1}=\frac{a(1-q^n)}{1-q}$

6.  指数运算：

$\prod _{k=1}^n{a}^{m_k}=a^{\sum _{k=1}^n{m}_k}$