自然科学/冲量 动量

冲量

给一个质量为$m$的物体施加一个力$𝑭$，那么这个力的作用效果跟力的大小、方向、作用时间均有关系。现在假设力的方向为水平上的某方向且保持不变，且物体在时间$t_0=0$时刻具有速度${𝒗}_0$。

经过$t$的时间的$t_1=t$时刻，根据牛顿第二定律，我们可以计算出物体此时的运动速度

$${𝒗}_1={𝒗}_0+𝑭t/m$$我们将两端同时乘以$m$并作适当的移项，可以得到

$$𝑭t=m({𝒗}_1-{𝒗}_0)$$我们知道，两个时刻的速度之差为物体在这段时间内速度的变化量，我们用$\mathrm{\Delta }𝒗$来代替$({𝒗}_1-{𝒗}_0)$得

$$𝑭t=m\mathrm{\Delta }𝒗$$从上式中，我们可以看出，质量一定的物体，速度的改变量只与受到的力和该力作用的时间有关。因此，对我我们来说，力和力的作用时间是一个有研究意义的量，现在我们将它定义为一个新的物理量——冲量，一般用字母$𝑰$表示，即$$𝑰=𝑭t$$容易知道，冲量是矢量。

冲量的计算

我们容易证明在任意时间段$t$内，合力$𝑭$的冲量$𝑰$等于各个分力${𝑭}_{𝒏}$的冲量${𝑰}_{𝒏}$之和，即$$𝑰=\sum {𝑰}_{𝒏}$$对于一个变力$𝑭$，我们假设时间段$T_0$时刻至$T_n$时刻内各个时间段$t_1,t_2,...,t_n(t_i=T_{i+1}-T_i,T_i<T_{i+1})$内力均保持恒定，分别为${𝑭}_1,{𝑭}_2,...,{𝑭}_{𝒏}$，则变力$𝑭$在$t=T_n-T_0$的总冲量为各个$𝑭$保持恒定的时间段内的冲量之和。$$\begin{array}{cc}𝑰& =\sum {𝑰}_{𝒏}\\ & =\sum {𝑭}_{𝒊}{t}_i\\ \end{array}$$简单地讲，就是计算变力的冲量，可以将变力分为多个时间段内的恒力分别计算冲量再求和。

倘若变力$𝑭$随着时间不断变化，那么我们可以考虑使用微元法或微积分计算某个时间段内的冲量。

动量

在某个参考系下，物体质量和速度的乘积，称为物体在该参考系下的动量，即

$$𝒑=m𝒗$$

显然动量是矢量，并且物体的动量和参考系的选择有关。

动量，是一个人为定义的物理量，和动能一样，我们定义了一个新的物理量从另一个角度来描述物体运动的特性。动量是解决碰撞过程有关问题的良好的工具。同时由于动量和速度成正比，计算量远小于动能，因此解决问题时使用动量可以化简计算。我们即将解释动量和冲量的关系。

冲量和动量的关系

假设质量为$m$物体在$t_0=0$时刻速度为${𝒗}_0$，在$t_0$到$t_1=t$之间，物体受到的合外力恒定且为$𝑭$，那么由牛顿第二定律，我们可以计算出物体在$t_1$时刻的速度

$$\begin{array}{cc}{𝒗}_1& ={𝒗}_0+𝒂t\\ & ={𝒗}_0+\frac{𝑭t}{m}\\ \end{array}$$将${𝒗}_0$移动到等式左边，然后两边同时乘以$m$得

$$m{𝒗}_1-m{𝒗}_0=𝑭t$$等式左边为物体在这段时间内的动量变化量，等式右边为物体受到的合力的冲量，我们用相应的字幕代替上式的左右端则有

$$\mathrm{\Delta }𝒑=𝑰$$对于变力，我们可以将它分解为多个时间段内的恒力，而对于那些不断变化的力，我们总是可以将它看作很多个微小时间段内的恒力，因此同样有以上结论：（在一定参考系下）一定时间内，物体的动量改变量等于其合力的冲量。这个结论叫做动量定理。