邏輯通路/兩平面向量所夾面積

假設我們要計算由

$\overrightarrow{u}=\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]$ 與 $\overrightarrow{v}=\left[\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right]$

所圍成的平行四邊形面積（有向面積），我們可以選擇將 $\overrightarrow{v}$ 分解成：

$\overrightarrow{v}=\left[\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right]=x\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}-b\\ a\end{array}\right]$

並計算出 $y$ 的大小，這樣我們就可以利用「底×高」算出平行四邊形的面積。

計算 y

如果我們將

$\overrightarrow{v}$ 與 $\left[\begin{array}{c}-b\\ a\end{array}\right]$

作內積，則我們可以得到：

$\left[\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}-b\\ a\end{array}\right]=(x\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}-b\\ a\end{array}\right])\cdot \left[\begin{array}{c}-b\\ a\end{array}\right]$

$ad-bc=y(a^2+b^2)$

如果我們假設：

$r=\sqrt{a^2+b^2}$

則：

$y=\frac{\left|\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right|}{r^2}$

（注意：y 有正負號）

計算有向面積

利用「底×高」，我們可以得到：

$r\cdot yr=y{r}^2=\left|\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right|$