重力與軌道

公式與原理

m1和m2互相吸引

萬有引力公式

$F=\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}$

• G是萬有引力常數
• m1是物體1的質量
• m2是物體2的質量
• r是兩個物體之間的距離

圓周運動公式 $a=\frac{v^2}{r}$

定義

1. $v=\frac{r_2-r_1}{\mathrm{\Delta }t}$ 速度=第二點的位置向量減第一點的位置向量/經過時間
2. $a=\frac{v_2-v_1}{\mathrm{\Delta }t}$ 加速度=第二點的速度減掉第一點的速度/經過時間
3. $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ 向量加法
4. $\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$ 向量減法

方向

左圖一 右圖二

• 由圖一，$v_1$必與$r_1$垂直，且是$r_1$順時鐘旋轉90度
• 由圖二，$a_1$必與$v_1$垂直，且是$v_1$順時鐘旋轉90度
• 所以，$a_1$必與$r_1$平行，且是$r_1$順時鐘180度

大小

• $a=\frac{v_2-v_1}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$，必須與$r_1$平行且是$r_1$順時鐘轉180度
• $v=\frac{r_2-r_1}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{\mathrm{\Delta }r}{\mathrm{\Delta }t}$
• 求出 $a=\frac{v^2}{r}$

證明：

1. 右方與左方三角形相似 $\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}=\frac{\mathrm{\Delta }r}{r}$ =>
2. 兩邊分母同乘 $\mathrm{\Delta }t\frac{\mathrm{\Delta }v}{v*\mathrm{\Delta }t}=\frac{\mathrm{\Delta }r}{r*\mathrm{\Delta }t}$ =>
3. $\frac{1}{v}*\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{1}{r}*\frac{\mathrm{\Delta }r}{\mathrm{\Delta }t}$ =>
4. $\frac{1}{v}*a=\frac{1}{r}*v$ =>
5. $a=\frac{v^2}{r}$

PhET遊戲介紹

PhET載點

• 遊戲名稱:地球科學/重力與軌道
• 可移動太陽、地球、月亮，觀察移動後會怎麼影響軌道
• 遊戲目標
  1. 描述太陽、地球、月亮、太空站的關係，包含軌道、距離及各自的位置
  2. 解釋萬有引力如何影響太陽系的移動

卡通圖(未按原比例圖)

• 軌道選項:
  1. 太陽、地球
  2. 太陽、地球、月亮
  3. 地球、月亮
  4. 地球、太空站
• 顯示選項:
  1. 重力
  2. 速度
  3. 路徑
  4. 格子
• 操作:
  1. 選好自己要的軌道
  2. 選好要顯示的東西
  3. 按下方藍色開始鍵

勾選重力及速度，開始後就會標示出$M1$的重力及切線速度、$M2$的重力及切線速度，再勾選路徑，就會畫出$M2$繞著$M1$的軌道。

此時若我們移動$M1$，就會發現$M2$的軌道會有改變，若$M1$靠近$M2$，$M2$的$v$縮小，不是圓周運動了，慢慢$M2$就會撞向$M1$。

若我們移動$M1$遠離$M2$，$M2$的$v$變大，這時也不再是圓周運動，$M2$就會慢慢遠離$M1$。