高中数学/函数与三角/函数的周期性

阅读指南

希望快速了解或快速回顾高中数学的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。

周期现象是生活和学术中经常出现的一种现象。为了在数学中研究这些现象，人们引入了周期函数。后面我们将要学习的各个三角函数都是周期函数。

基础知识

周期函数的定义

如果存在一个非零实数$T$,在一个函数的定义域I中任取1个值$x$，都有$f(x+T)=f(x)$成立，就把$f(x)$称为周期函数，把$T$叫做这个函数的周期(Period)。

如果一个函数$f(x)$是周期函数，那么使得$f(x+T)=f(x)$成立的最小的正数$T$称为该函数的最小正周期。

显然，一个周期函数的最小正周期的非零整数倍都是这个函数的周期。然而，不是所有的周期函数都具有最小正周期。例如，一个常函数$f(x)=C$，很显然符合周期函数的定义；但是，找不到一个最小的正数作为它的周期。