高中数学/概率与统计/条件概率及其相关公式

阅读指南

注意：与先前一样，本节中用到的组合数符号${\mathrm{C}}_n^k$是沿袭自苏俄的符号习惯，表示从n个元素中取出k个元素的取法数；如果换成欧美常见的符号，应该改写为$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$。

基础知识

知识引入

思考：抛2枚硬币，有一个是正面，那么另一个是反面的概率是多少？另一个常见的同类问题为：一户人家有2个孩子，一个是男孩，另一个是女孩的概率是多少？（答案：都是$\frac{1}{4}$。）

条件概率

设A、B为2个事件，且P(A) > 0，我们将P(AB)与P(A)的比值叫做“在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率（conditional probability）”，记作P(B|A)，读作“A发生的条件下B发生的概率”。也即$P(B|A):=\frac{P(AB)}{P(A)}$。

关于条件概率，有以下结论成立：

• 对任意事件A、B，有$0\le P(B|A)\le 1$。
• 如果B和C是2个互斥事件，则有$P(B\cup C|A)=P(B|A)+P(C|A)$。

全概率公式与贝叶斯定理

全概率公式（formula of total probability）是指如果$E_1,E_2,\cdots ,E_n,\cdots$是两两互斥的事件，且它们的事件之并构成基本事件的全集，A是任意事件，则有：

$P(A)=P(A|E_1)+P(A|E_2)+\cdots +P(A|E_n)+\cdots$

一般来说，事件A在事件B已发生的条件下发生的概率，与事件B在事件A已发生的条件下发生的概率是不一样的，但我们有如下的常用定理描述它们之间的固定数量关系：

托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes，约1702年－1761年）的公式非常著名，导致了后世贝叶斯学派的出现。不过贝叶斯本人在世期间没有发表过任何数学成果。他的哲学家兼数学家朋友理查德·普瑞斯（Richard Price）在他去世后才将贝叶斯公式发表于《皇家学会哲学通讯》（Philosophical Transactions of the Royal Society of London）。

以英国数学家托马斯·贝叶斯命名的贝叶斯定理（Bayes' theorem）或称贝叶斯公式指出：

$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$

相关例题： 求证条件概率的链式法则（chain rule）：

$\begin{array}{cc}\mathrm{P}(E_1\cap E_2\cap E_3\cap E_4)& =\mathrm{P}(E_1\mid E_2\cap E_3\cap E_4)\cdot \mathrm{P}(E_2\cap E_3\cap E_4)\\ & =\mathrm{P}(E_1\mid E_2\cap E_3\cap E_4)\cdot \mathrm{P}(E_2\mid E_3\cap E_4)\cdot \mathrm{P}(E_3\cap E_4)\\ & =\mathrm{P}(E_1\mid E_2\cap E_3\cap E_4)\cdot \mathrm{P}(E_2\mid E_3\cap E_4)\cdot \mathrm{P}(E_3\mid E_4)\cdot \mathrm{P}(E_4)\end{array}$

（如果熟悉数学归纳法，可以尝试证明此公式包含n个事件的一般情形。）

补充习题