高中数学/预备知识/函数

阅读指南

学习高中数学的读者应该具备一定程度的初中/国中数学知识基础，同时高中可能会需要用到少量在先前阶段没有作为重点学习过的知识。本节例举了一些学习高中数学必须掌握的函数预备知识，并刻意撇去了一部分在高中阶段几乎不怎么会用到的初中/国中知识。读者可以速览本节内容，以便查漏补缺，减少知识死角。

由于代数与函数图象有很密切的关系，我们将部分同时涉及一次函数、二次函数与反比例函数的解方程、解不等式知识也放入了本节。

函数相关章节的核心思想包括：

• 利用待定系数法或对比系数法确定含未知参数的函数。
• 理解各个关键参数对函数图象的影响，理解函数的图象变换。
• 理解函数解析式、函数图象、方程、不等式之间的相互联系。

函数和平面几何同样都是在初中考察较多的知识板块，但是平面几何知识在高中及后续课程中只需要作一般程度的了解（差不多会运用勾股定理、相似比解决简单直接的问题即可），重在从直观的图形性质探究中领悟其中的论证思想（反证、逆推、类比、借助辅助线，层层抽丝剥茧）；而函数的知识和思想都贯穿数学各个阶段、各个领域的学习，显然重要得多、具有深挖的价值。就中国大陆的中学数学内容编排情况而言，将“以函数为纲领”作为中学的教材编写和考试考察的侧重点的做法开始于1958年。在此之前，中学数学常规课程到底应该包括哪些内容一直没有定论，导致中学教学的知识点非常零散分散，不成体系。当时通过开会讨论，确定这条主线后，大陆方面中学各阶段的数学教学与考试的方向都开始突出此重点，其由浅入深、主次分明的学习脉络易被学生接受，也基本能对接上后续大学课程的需要。

这里再多说几句，高中数学不只是对初中数学考点和难点的简单拓展，更是为了衔接更重要的后续大学课程起过渡作用。如果要问学习高中数学是否会对高中毕业以后参加的工作（假如不再继续读大学）有直接帮助，那么答案是否定的，甚至可以说高中阶段所学的数学知识远不及大学阶段的数学有实际意义。诚然，学习数学可以锻炼逻辑思维，但是“训练思维”或是“学好以后给人编题目做”不应该是数学学习的主要目的。我们应该利用数学解决实际遇到的问题（解决我们对现实的困惑），或是更纯粹一点，去深究数学规律本身的秘密（解决我们对数学的困惑）。

基础知识

我们在这里给出对高中有用的初中函数基础知识脉络，并以粗体显示其中重要性较大的知识点。

函数的概念及其坐标系表示

有关“函数及其图示”，读者应该掌握的基础知识：

• 直角坐标系常识
• 直角坐标系中点到坐标轴的距离、点与点的距离
• 判断已知点关于原点或某条坐标轴的对称点的坐标
• 函数的概念、函数的图示法

平面上2点$P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$间的距离为$\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$。

一次函数

有关“一次函数”，读者应该掌握的基础知识：

• 了解直线斜率与截距的几何意义
• 根据直线与坐标轴的交点信息巧设截距式
• 掌握由定点信息求解析式（待定系数法）与由解析式求定点信息的做法
• 注意直线斜率不存在的情形

通过2个点$P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$的直线斜率公式：$k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$。

关于斜率含义与夹角计算的补充

直线斜率的概念先前读者已经遇到了，但是我们在此给它一个更明确的由来介绍，特别是从直线与x轴正方向所成的角的大小来研究斜率的含义。

对于与x轴夹角为锐角的直线，考虑该直线上2个不同的点$P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),x_1<x_2$，由几何关系出发易知：
$\tan \alpha =\frac{|y_1-y_2|}{|x_1-x_2|}=|\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}|$
再不妨设描述此直线的方程为$y=kx+b$，则可以继续利用此式化简上式：
$\tan \alpha =|\frac{(k{x}_1+b)-(k{x}_2+b)}{x_1-x_2}|=|\frac{k(x_1-x_2)}{x_1-x_2}|=|k|$
这说明这时夹角的正切值就是直线方程中一次项系数k的绝对值。夹角越小，直线越水平，倾斜程度越平缓，k的绝对值也越小。而k的正负则说明直线的朝向是朝上还是朝下。换句话说，k是倾斜程度的另一种表达形式。出于这个原因，我们把这个系数k叫做直线的斜率。

由上述分析可知，对于与x轴正方向所成夹角$0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$的直线，直线斜率k的绝对值代表的就是其夹角正切值：

$|k|=\tan \alpha =|\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}|(0^{\circ }<\alpha <90^{\circ })$

当k > 0时，上式连等式中由于可以直接去掉绝对值符号，是非常易用的：

$k=\tan \alpha =\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}(0^{\circ }<\alpha <90^{\circ },k>0)$

当k < 0时，也不难得到：

$k=-\tan \alpha =\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}(0^{\circ }<\alpha <90^{\circ },k<0)$

此外，虽然初中只学了锐角的正切等三角比，但是此处为了计算方便，我们补充规定$\tan 0^{\circ }=0$。这样当夹角为0°时，仍然可以按照上述公式计算斜率。

综上所述，我们得到：

对于斜率存在（不是沿竖直走向）且过2个不同点$P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),x_1<x_2$的直线L，其与x轴正方向夹角$\alpha (0^{\circ }\le \alpha <90^{\circ })$、其斜率k（一次项系数）、两点坐标信息的对应关系为：

$k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\{\begin{array}{c}\tan \alpha (k>0)\\ -\tan \alpha (k<0)\end{array}$

对更好地描述倾斜角度的初步探究

由于斜率区分正负，夹角却不区分正负，所以上述公式涉及绝对值的转换。绝对值的出现，会使得换算时容易产生不便之处，对于了解直线倾斜角度与斜率的关系可能并不是最好的做法。因此我们转而考虑是否可以找出一种与上述夹角相关的更好的描述直线倾斜度的方式。有关直线倾斜度的说法，最初直观的动机来源于描述斜坡与地面所成的坡度大小。但是由于直线与x轴的正方向可以构成2个不同大小角，我们可以通过补充限制条件，来使得倾斜角的选取变得唯一。例如可以规定倾斜角的取值范围是$(0,90^{\circ })$。

问题的要点在于能否保证$\tan \alpha =\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$始终成立，而不仅仅限于$\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}>0$的情形。

为此，我们可以额外约定：

• 直线与x轴正方向的夹角分正负，张角开口偏上的角度为正，偏下的为负。
• 负角度$-\alpha (90^{\circ }<\alpha <0^{\circ })$的正切值为：$\tan \alpha =-\tan |\alpha |$

新规定的关系式$\tan (-x)=-\tan x$其实具有一般性，它暗示还可以将角度以及三角比的定义推广到锐角范围以外的任意角度。这是我们后面将会在弧度制与任意角的三角函数值一节中做的事情。

提示：虽然倾斜角的最直观含义是斜坡与地面所成的坡度大小，但是坡度与地面所成的夹角范围是明显更大的，将倾斜角限制在$(-90^{\circ },90^{\circ }]$或$[0,180^{\circ })$都并不能使所有可能出现的坡度与倾斜角一一对应。

综上，我们得到对于倾斜角度$-90^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$的直线，它的倾斜角的正切值就是这条直线的斜率k：

$k=\tan \alpha (-90^{\circ }<\alpha <90^{\circ })$

而对于垂直于x轴的直线，其斜率是不存在意义的。

在高中阶段，我们实际上会将三角比的概念推广到对任意角有定义，并且将起边在x轴正方向、终边在直线本身上、倾斜角度只按逆时针计算时获得的角度定义为直线的倾斜角。这样直线倾斜角的范围就变为了$[0^{\circ },180^{\circ })$，可以使得斜率与倾斜角之间的关系在倾斜角为钝角时仍然保持一致。

正比例与反比例函数

有关“正比例函数与反比例函数”，读者应该掌握的基础知识：

• 正比例函数的求解与简单图形性质
• 反比例函数的求解与简单图形性质（单调性与渐近线的直观概念）
• 反比例函数图象上任意一点到坐标轴的垂线所围成的三角形面积为定值

二次函数与二次方程

有关“二次函数与二次方程”，读者应该掌握的基础知识：

• 二次函数的多种等价形式
• 配方法、求根公式
• 判别式、对称轴、韦达定理
• 含参二次函数的分类讨论

$y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$叫做二次函数（quadratic function），$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$叫做二次方程（quadratic equation）。

可以通过配凑平方（complete square）的技巧转化二次三项式：

$x^2+bx+c=(x^2+bx+(\frac{b}{2}{)}^2)-(\frac{b}{2}{)}^2+c=(x+\frac{b}{2}{)}^2-\frac{b^2}{4}+c$。

对二次方程配方、移项、开方后，可得求根公式：$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

当a = 0时，求根公式可以简化为：$x=\frac{-\frac{b}{2}\pm \sqrt{(\frac{b}{2}{)}^2-ac}}{a}=-\frac{b}{2}\pm \sqrt{(\frac{b}{2}{)}^2-c}$。

在许多问题中，我们更关心的是方程实数解的数量，而不一定需要求出具体的解。设实数解的个数为m，为判断求根公式的所得结果在实数范围内是否有效，规定二次方程解的判别式（discriminant）$\mathrm{\Delta }$为：

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac\{\begin{array}{c}>0\Rightarrow m=2\\ =0\Rightarrow m=1\\ <0\Rightarrow m=0\end{array}$

提示：之所以总是强调“实数解”的概念，这是因为当方程在实数范围内无解时，仍然可以出于某些特殊需要为其规定复数解等其它形式的解。

若从函数角度研究二次三项式，则由二次函数图象的直观规律和配方后的结果还可以知道下列关键信息：

• 图象开口朝向取决于二次项系数a的正负（a > 0时开口朝上，a < 0时开口朝下）。
• 二次函数的顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。
• 最大值/最小值为$y_{x=-\frac{b}{2a}}=\frac{4ac-b^2}{4a}$。

函数图象与对应方程的关系：

• 函数图象与x轴有交点：方程有解；
• 函数图象与x轴有n个交点：方程有n个解；
• 函数图象与x轴没有交点：方程无解。

由此可知，判别式除了可以用于二次方程的解的计数，也可以用于二次图象与x轴交点的计数。

要画出二次函数的图象示意图，至少需要确定出曲线顶点和它与x轴的交点的准确位置。换句话说，顶点和与轴的交点提供了刻画其图象的关键信息。对应一般形式的二次函数，在求顶点时，需要借助顶点式或配方法；求交点时，则需要借助因式分解法或二次方程的求根公式。

韦达定理（Vieta's laws）也叫韦达公式（Vieta's formulas），它给出了二次方程中根与系数的关系：

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}\end{array}$

函数图象与不等式

有关“函数图象与不等式”，读者应该掌握的基础知识：

• 函数图象与不等式结合的问题
• 二次函数与二次不等式的关系

对于函数图象与不等式结合的问题，常常要从数形结合的思路入手。

相关例题1： 已知当x > 1时，y = x+a的图象总在$y=\frac{1}{x}$的图象上方，求a的取值范围。

相关例题2： 设曲线A的方程为y = - x + a，曲线B的方程为$y=\frac{2}{x}$。设A与B有2个不同的交点，求a的取值范围。

移项后整理后一侧为零，另一侧为二次三项式的不等式叫做二次不等式（quadratic inequality）。对于二次不等式，可以使用更直接的方法求解，即因式分解后判断各项因子的正负来决定答案的范围。

二次不等式的标准求解步骤：

1. 借助移项技巧，确保将不等式的一侧转变为零，另一侧变为二次三项式。
2. 尝试求解对应方程的根，并对二次三项式分解因式。
3. 当因式分解可行时，以根作为分界点，将整个实数轴划分为2个或3个区间。
4. 根据x在每个不同的区间上的取值情况，判断应该选择哪些区间作为问题答案。

提示：(1)易知x在同一区间内变化时，对应二次三项式的取值正负始终相同。故只需要考虑不同区间之间的差异。(2)当对应的二次方程的确有根时，答案只可能是取中间或取两侧的区间。

通过简单的观察和尝试，我们可以总结出如下经验：

• 在划出的最左侧区间和最右侧区间上，二次三项式结算结果的符号始终与二次项系数的正负号相同。
• 不妨假设x很大（比方程最大的根还要大），此时只要看二次项系数是否大于0（也即是否符合不等号方向要求），即可确定是否能取左右两侧的区间。
• 当确保二次项系数大于0时，可以按照“大于取两边，小于取中间”的口诀快速确定答案范围。

相关例题3： 解不等式x(x-2) > 0。

常用结论与常见模型

一次函数的各种形式

一次函数的图象是直线，其关系式y = kx + b中的系数k对应于直线斜率，系数b对应于截距。因此y = kx + b也叫做直线的斜截式方程。

我们将直线的常见形式都总结如下：

• 直线的点斜式方程：$y-y_1=k(x-x_1)$，其中k是斜率，且该直线过定点$P(x_1,y_1)$；
• 直线的斜截式方程：y = kx + b，其中k是斜率，b是直线在y轴上的截距；
• 直线的两点式方程：$\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$，这样的直线过两定点$P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$；
• 直线的截距式方程：$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=1$，这样的直线过定点$A(a,0),B(0,b),a,b\ne 0$；
• 直线的一般式方程：Ax + By + C = 0，A和B不可以同时为0。

其中的每一种形式都有其最适合使用的场合，我们为了方便称呼它们就根据列式的特点起了这些名字。在用待定系数法求解类型已知、包含未知参数的函数表达式时，应该根据涉及已知条件的多寡来设成形式最简洁的表达式。当直线斜率存在时，以上各种直线方程可相互转化，而且大多转化为直线的斜截式方程y = kx + b。

这些知识还会在后续的直线方程知识补充章节中继续提到。

二次函数以及韦达定理的各种形式

二次函数有下列3种常见形式：

• 一般式：$y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$，其中a、b、c为常数。
• 顶点式：$y=a(x-h{)}^2+k(a\ne 0)$其中，a、h、k为常数。
• （与x轴的）交点式（也叫做两点式、两根式）：$y=a(x-x_1)(x-x_2)(a\ne 0)$，其中a为常数，$x_1,x_2$分别为二次函数与x轴的2个固定交点的横坐标。

容易发现：

• 二次函数顶点式是对一般式配方后的结果。
• 从二次函数的顶点式容易看出对称轴和最值大小；如果已知对称轴和最值大小，则用顶点式表示二次函数是最快捷的。
• 从二次函数的顶点式容易看出图象与x轴的2个交点；如果已知图象与x轴的2个交点，则用交点式表示二次函数是最快捷的。

韦达定理有下列常见用法：

• 结合平方转化技巧构造两根之和与两根之积的形式：
  

$\begin{array}{c}|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2}=\sqrt{x_1^2+x_2^2-2x_1{x}_2}=\sqrt{x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-4x_1{x}_2}\\ =\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}(=\sqrt{(-\frac{b}{a}{)}^2+4\cdot \frac{c}{a}}=\sqrt{\frac{b^2}{a^2}+\frac{4c}{a}}=\frac{\sqrt{b^2+4ac}}{a})\end{array}$

• 结合通分、颠倒等分式变形技巧构造两根之和与两根之积的形式：

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1{x}_2}(=\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=-\frac{b}{c})$

如果题目只是已知两根之和与两根之积，就可以采用这种变形拼凑项的思路求解$|x_1-x_2|,\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2},\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1},x_1^2+x_2^2,\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2},|\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}|$的值。

函数图象的平移规律

函数图象平移口诀：（对x）左加右减，（对y）上加下减。

相关例题1： 借助函数平移思想，分别作出下列函数的图象：

(1) $y=(x-1{)}^2$；

(2) $y=(x-1)(x-2)+1$；

(3) $y=2(x-1{)}^2+1$；

(4) $y=(1-x{)}^2-1$；

(5) $y=-(x-2{)}^2$；

(6) $y=\frac{x-1}{x-2}$。

相关例题2： 求函数$y=\frac{k}{x+1}(k\ne 0)$的取值范围。

解高次整式不等式的穿根法

我们知道，由二次函数的两根式和图象特点，容易求解二次不等式。例如对于(x-1)(x-2) > 0，可以设y = (x-1)(x-2)，由开口向上且经过x = 1、x = 2的二次函数图象特征可知，满足y > 0的点的横坐标分布的区域就在x < 1或x > 2的范围内。

类似地，这种方法也可以推广到高次的整式不等式。具体地，我们考虑求解形如p(x) > 0的问题，其中p(x)是关于x的多项式。

穿根法也叫做根轴法、数轴标根法、零点分段法、区间法、穿针引线法，是一种按根的位置将数轴分段，再通过数形结合思想分析求解上述整式不等式（即p(x) > 0）的方法。具体步骤为：

1. 对p(x)这一侧作因式分解。如果无法因式分解，则此法无法解决问题。
2. 利用因式分解的结果，得到p(x) = 0的全部根。
3. 将根从小到大排序，作为分界点将x轴分割为多段区域。
4. 用一条连续的函数曲线粗略地串起所有的根，并保证：
   1. 曲线严格穿过所有的根，且每个根只要穿过一次。
   2. 每多穿过一个根就改变一次曲线上y值的正负。
   3. 曲线绝不穿过x轴上的其它点。
   4. 曲线在某个区间上的取值正负决定曲线在该区间上是位于x轴上方，还是下方。
5. 结合图象走势和不等号朝向，得到答案。

注意：使用穿根法解不等式时，需要注意最高次项系数的正负。最高次项系数的正负如果看错了，则答案会取为完全相反的区间。

相关例题1： 分别解下列不等式：

(1) (x-1)(x-2)(x-3) > 0；

(2) $x^3\ge 5x$。

相关例题2： 解不等式$(4-x^2)(x-2{)}^2>0$。

补充习题

参见

• 初中数学/目录/函数
• 算术与代数预备知识