高中数学（版聊式）/第2节：导数

导数的定义

经过上面两个例子，我们可以看到，形如

$\underset{x_1\to x_0}{\lim }\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$

的式子很重要。

事实上，对于一个给定的初等函数，对于定义域内(非端点)一个数$x_0$，上式总是会趋向一个定值。

如果我们令$x_1-x_0=\mathrm{\Delta }x$，那么这个式子可以写作：

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}$

定义：一般地，函数$y=f(x)$在$x=x_0$处的导数为$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}$，记作$f^{\prime }(x_0)$或$y^{\prime }{|}_{x=x_0}$。

导数的意义

导数描述的实际上是一个函数$y=f(x)$在$x_0$处的瞬时变化率。从几何关系上讲（参见5.1.1切线），某一点导数的值即为此点切线的斜率（倾斜角的正切）。

导函数

函数$f(x)$在定义域内（除端点）某一点$x_0$的导数都是一个确定的数值$f^{\prime }(x_0)$.

这样，当$x$变化时，$f^{\prime }(x)$便是$x$的一个函数，我们称它为$f(x)$的导函数(derivative function)，经常也直接简称$f(x)$的导数。即

$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$