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[[分類:數學]]
{{noteTA
|1=zh-cn:海伦-秦九韶公式;zh-hk:希羅-秦九韶公式;zh-tw:海倫公式;
}}
==定義==
===三角形五心的定義===

三角形的內心、外心、重心及垂心稱為三角形的四心，定義如下：

{| class="wikitable"
|-
! 名稱 || 定義 || 圖示 || 備註
|-
| '''內心''' || 三個內角的角平分線的交點 || [[File:三角形の内心.png|250px]] || 該點為三角形內切圓的圓心。
|-
| '''外心''' || 三條邊的垂直平分線的交點 || [[File:三角形の外心.png|250px]] || 該點為三角形外接圓的圓心。
|-
| '''重心''' || 三條中線的交點 || [[File:三角形の重心.png|250px]] || 被交點劃分的線段比例為1:2(靠近角的一段較長)。
|-
| '''垂心''' || 三條高線的交點 || [[File:三角形の垂心.png|250px]] ||  
|}

[[File:Triangle.EulerLine.svg|300px|right]]

垂心(藍)、重心(黃)和外心(綠)能連成一線，且成比例2:1，稱為尤拉線。

連同以下的旁心，合稱為三角形的五心：
{| class="wikitable"
|-
! 名稱 || 定義 || 圖示 || 備註
|-
| '''旁心''' || 其中一內角和另外兩外角的角平分線的交點 || [[File:三角形の傍心.png|250px]] || 有三個，為三角形某一邊上的旁切圓的圓心。
|}

===正弦(sine)、餘弦(Cosine)定義===
[[File:Trigono sine zhtw.svg|right|200px|thumb|∠A之度數為''α''：<br/>sinα=對邊長/斜邊長<br/>cosα=鄰邊長/斜邊長]]
直角三角形中∠A之度數為α，定義：
:sinα=對邊長/斜邊長
:cosα=鄰邊長/斜邊長
基本性質：
#sinα=cos(90°-α)
#:令∠B度數為β，β=90°-α，則sinα=a/c=cosβ=cos(90°-α)
#cosα=sin(90°-α)
#:令∠B度數為β，β=90°-α，則cosα=b/c=sinβ=sin(90°-α)
#sin<sup>2</sup>α+cos<sup>2</sup>α=1
::三角函數的平方寫在角度前，不寫在角度後，以和「α<sup>2</sup>取sin」區分。
::<math>\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}=1</math>

==兩大公式==
===(一)[[w:en:Inscribed_angle|圓周角等於對同弧圓心角的一半]]===
====[[w:正弦定理#.E8.AF.81.E6.98.8E.E4.BA.8C|正弦定理]]====
若<math>R</math>為外接圓半徑，則
<math>\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R</math>。

===(二)[[w:餘弦定理|餘弦定理]]===
[[file:Triangle with notations 2.svg|200px|right]]
: <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma</math>
: <math>b^2 = c^2 + a^2 - 2ca\cos\beta</math>
: <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha</math>

==三角形面積公式==
===(一)已知兩邊及其夾角===
<!--[[File:Area de paralelogramo.svg|right|200px]]
[[File:Parallelogram-triangle-area.svg|right|200px]]-->
[[File:Triangle.TrigArea.svg|right]]
三角形面積為二分之一兩邊乘以夾角正弦。

△=<math>\frac{1}{2}\times ab\times\sin\gamma</math>

△=<math>\frac{1}{2}\times b\times h=\frac{1}{2}\times b\times h\times\frac{a}{a}=\frac{1}{2}\times a\times b\times\frac{h}{a}=\frac{1}{2}\times ab\times\sin\gamma</math>

===(二)[[w:海伦公式|海倫公式]]===
<!--由餘弦定理導出-->
<math>s=\frac{a+b+c}{2}</math>

△=<math>\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}</math>

===(三)內切圓半徑===
<math>s=\frac{a+b+c}{2}</math>，r為內切圓半徑

△面積 <math>=sr</math>

===(四)外接圓半徑===
R為外接圓半徑

△=<math>\frac{abc}{4R}</math>

[http://blog.xuite.net/ginwha/school/29344846-三角形外接圓半徑和內切圓半徑 證明]

===(五)三中線將△切為六個等大的小△===

===(六)三高===
△= ½×a×h<sub>a</sub>= ½×b×h<sub>b</sub>= ½×c×h<sub>c</sub>

===(七)以三點座標求面積===
△=<math>\plusmn\frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1\end{vmatrix}</math>

如 (x<sub>1</sub>,y<sub>1</sub>) 為 (0,0) 即原點，則

△=<math>\plusmn\frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_2 & y_2 \\ x_3 & y_3\end{vmatrix}</math>

再旋轉使 (x<sub>3</sub>,y<sub>3</sub>) 位於 X 軸，為 (x<sub>3</sub>,0)。此時 x<sub>3</sub> 為底， y<sub>2</sub> 為高：

△=<math>\frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_2 & y_2 \\ x_3 & 0\end{vmatrix}=-\frac{1}{2}x_3y_2</math> 

從一角出發，其兩邊的向量為 <math>\mathbf{a}</math> 及 <math>\mathbf{b}</math>

△=<math>\frac{1}{2} |\mathbf{a} \times \mathbf{b} |</math>