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==数列==
===数列的概念===

例如：<math>a</math>, 36, <math>b</math>, 58, 69, 80　依此數列看，其公差等於<math>80-69=11</math>，故<math>b=36+11=47</math>, <math>a=36-11=25</math>

76, <math>A</math>, 66, ... , 51, 46, <math>B</math>, 36, <math>C</math>  　依此數列看，其公差等於<math>51-46=5</math>，故<math>A=66+5=71</math>, <math>B=36+5=41</math>, <math>C=36-5=31</math>

238, <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math>, －58

如果無相鄰兩數可求公差，令公差=<math>d</math>

238－d－d－d－d=－58,  238－4d=－58, 4d=296, d=74

x = 238－74=164, y = 238－74－74=90

z = 238－74－74－74=16

238－74－74－74－74=－58, 所以答案正確。

===数列的项===
===数列的图像===
===数列的分类===

==等差数列==
===等差数列的概念===
每一项都与前一项相差一个常数，<math>a_k-a_{k-1}=d</math>，则<math>\{a_k\}</math>为等差数列。

===等差数列的通项公式===
第一项是 <math>a_1</math> ，公差是 <math>d</math> 的等差数列的通项公式是
<center>
<math>
\boldsymbol{a_n = a_1 + (n-1)d}
</math>
</center>

===等差数列求和===
[[代數/本書課文/求和/裂項法|裂項法]]、[[代數/本書課文/求和/錯位相減法|錯位相減法]]、[[代數/本書課文/求和/組合數求和|組合數求和]]都能求出等差数列的和。

<math>\sum_{k=1}^n [a_1+(k-1)d]=a_1C_n^1+dC_n^2=a_1 n+d\frac{n(n-1)}{2}</math>

==等比数列==
===等比数列的概念===
每一项与前一项的比为一个常数，<math>\frac{a_k}{a_{k-1}}=q</math>，则<math>\{a_k\}</math>为等比数列。

===等比数列的通项公式===
第一项是 <math>a_1</math> ，公比是 <math>q</math> 的等比数列的通项公式是
<center>
<math>
\boldsymbol{a_n = a_1q^{n-1}}
</math>
</center>
这里 <math>a_1 \neq 0, q \neq 0, n</math> 为自然数。

===等比数列求和===
[[代數/本書課文/求和/裂項法|裂項法]]、[[代數/本書課文/求和/錯位相減法|錯位相減法]]都能求出等比数列的和。

<math>\sum_{k=1}^n a_1q^{n-1}=a_1\frac{q^n-1}{q-1}</math>

==差比数列==
一个等差数列乘上一个等比数列是差比数列，<math>a_n=[a+d(n-1)]r^{n-1}</math>
===差比数列求和===
[[代數/本書課文/求和/裂項法|裂項法]]、[[代數/本書課文/求和/錯位相減法|錯位相減法]]、[[代數/本書課文/求和/逐項求導法|逐項求導法]]、[[代數/本書課文/求和/阿貝爾變換|阿貝爾變換]]、[[代數/本書課文/求和/差分算子求逆法|差分算子求逆法]]都能求出差比数列的和。

<math>\sum_{k=1}^n [a+(k-1)d]r^{k-1}=[\frac{a+(n-1)d}{r-1}-\frac{d}{(r-1)^2}]r^n-[\frac{a-d}{r-1}-\frac{d}{(r-1)^2}]</math>

==等差中项与等比中项==
现在我们来研究下面两个问题：

*已知三数 <math>a, A, b</math> 成等差数列，这三个数之间有什么样的关系？
*已知三数 <math>a, G, b</math> 成等比数列，这三个数之间有什么样的关系？

在解决这两个问题时，要用到等差中项和等比中项的概念。

===等差中项===
根据等差数列的定义，我们知道如果 <math>a, A, b</math> 这三个数成等差数列，那么一定有
<center>
<math>
A-a = b-A,
</math>
</center>
由此可得
<center>
<math>
2A = a+b,
</math>
</center>
所以
<center>
<math>
A = \frac{a+b}{2}.
</math>
</center>

反过来，如果 <math>A = \frac{a+b}{2}</math> ，那么从
<center>
<math>
A-a = \frac{a+b}{2}-a = \frac{b-a}{2},
</math>
</center>
<center>
<math>
b-A = b-\frac{a+b}{2} = \frac{b-a}{2},
</math>
</center>
也就可以知道 <math>a, A, b</math> 这三个数成等差数列。

我们把
<center>
<math>
A = \frac{a+b}{2}
</math>
</center>
叫做 <math>a</math> 和 <math>b</math> 的'''等差中项'''。

===等比中项===
根据等比数列的定义，我们知道如果 <math>a, G, b</math> 这三个数成等比数列，那么一定有
<center>
<math>
\frac Ga = \frac bG,
</math>
</center>
由此可得
<center>
<math>
G^2 = ab,
</math>
</center>
当 <math> ab > 0 </math> 的时候，就有
<center>
<math>
G = \pm\sqrt{ab}.
</math>
</center>

反过来，如果 <math>G = \pm\sqrt{ab}</math> ，那么从
<center>
<math>
\frac Ga = \frac{\pm\sqrt{ab}}{a} = \pm\sqrt{\frac ba}
</math>
</center>
和
<center>
<math>
\frac bG = \frac{b}{\pm\sqrt{ab}} = \pm\sqrt{\frac ba},
</math>
</center>
也就可以知道 <math>a, G, b</math> 这三个数成等比数列。

我们把
<center>
<math>
G = \pm\sqrt{ab}
</math> 
</center>
叫做 <math>a</math> 和 <math>b</math> 的'''等比中项'''。

==数列的极限==
===数列的极限的意义===
===数列极限的一些定理===
在研究数列极限的时候，常常要用到下面这些定理，现在我们不加证明的采用。
*'''定理１'''　如果一个数列有极限，那么它只能有一个极限。
*'''定理２'''　如果一个数列是递增有限数列，或者是递减有限数列，那么它一定有极限。
*'''定理３'''　如果两个数列都有极限，就是
<center>
<math>
\lim_{n \to \infty}a_n = A,\qquad \lim_{n \to \infty}b_n =B
</math>
</center>
那么，由这两个数列各对应项的和、差、积、商所组成的数列，也有极限，并且
<center>
<math>
\lim_{n \to \infty}(a_n + b_n) = \lim_{n \to \infty}a_n + \lim_{n \to \infty}b_n = A+B,
</math>
</center>

<center>
<math>
\lim_{n \to \infty}(a_n - b_n) = \lim_{n \to \infty}a_n - \lim_{n \to \infty}b_n = A-B,
</math>
</center>

<center>
<math>
\lim_{n \to \infty}(a_n \cdot b_n) = \lim_{n \to \infty}a_n \cdot \lim_{n \to \infty}b_n = A \cdot B,
</math>
</center>

<center>
<math>
\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n} = \frac{\lim_{n \to \infty}a_n}{\lim_{n \to \infty}b_n} = \frac{A}{B}(B \neq 0).
</math>
</center>

例如，数列
<center>
<math>
0,\,\frac 12 ,\,\frac 23,\,\frac 34,\,\cdots,\,\frac{n-1}{n},\,\cdots
</math>
</center>
的极限是 <math>1</math> 。

数列
<center>
<math>
\frac 21,\,\frac 32 ,\,\frac 43,\,\frac 54,\,\cdots,\,\frac{n+1}{n},\,\cdots
</math>
</center>
的极限也是 <math>1</math> 。

以这两个数列各对应项的和作数列：
<center>
<math>
0 + \frac 21,\,\frac 12 + \frac 32 ,\,\frac 23 +\frac 43,\,\frac 34 + \frac 54,\,\cdots,\,\frac{n-1}{n} + \frac{n+1}{n},\,\cdots ,
</math>
</center>
就是
<center>
<math>
2,\,2,\,2,\,2,\,\cdots,\,2,\,\cdots .
</math>
</center>
很明显，它的极限是 <math>2</math> ，也就是原来这两个数列极限之和。

以这两个数列各对应项的差作数列：
<center>
<math>
0 - \frac 21,\,\frac 12 - \frac 32 ,\,\frac 23 - \frac 43,\,\frac 34 - \frac 54,\,\cdots,\,\frac{n-1}{n} - \frac{n+1}{n},\,\cdots ,
</math>
</center>
就是
<center>
<math>
-2,\,-1,\,-\frac 23,\,-\frac 24,\,\cdots,\,-\frac 2n,\,\cdots .
</math>
</center>

当 <math>n \to \infty</math> 的时候，
<center>
<math>
\left| -\frac 2n - 0 \right| = \frac 2n \to 0.
</math>
</center>
所以它的极限是 <math>0</math> ，也就是原来这两个数列的极限的差。

以这两个数列各对应项的积作数列：
<center>
<math>
0 \cdot \frac 21,\,\frac 12 \cdot \frac 32 ,\,\frac 23 \cdot \frac 43,\,\frac 34 \cdot \frac 54,\,\cdots,\,\frac{n-1}{n} \cdot \frac{n+1}{n},\,\cdots ,
</math>
</center>
就是
<center>
<math>
0,\,\frac{2^2-1}{2^2},\,\frac{3^2-1}{3^2},\,\frac{4^2-1}{4^2},\,\cdots,\,\frac{n^2-1}{n^2},\,\cdots .
</math>
</center>

当 <math>n \to \infty</math> 的时候，
<center>
<math>
\left| \frac{n^2-1}{n^2} - 1 \right| = \frac {1}{n^2} \to 0.
</math>
</center>
所以它的极限是 <math>1</math> ，也就是原来这两个数列的极限的积。

以这两个数列各对应项的商作数列：
<center>
<math>
\frac{0}{\dfrac 21},\,\frac{\dfrac 12}{\dfrac 32} ,\,\frac{\dfrac 23}{\dfrac 43},\,\frac{\dfrac 34}{\dfrac 54},\,\cdots,\,\frac{\dfrac{n-1}{n}}{\dfrac{n+1}{n}},\,\cdots ,
</math>
</center>
就是
<center>
<math>
0,\,\frac 13,\,\frac 24,\,\frac 35,\,\cdots,\,\frac{n-1}{n+1},\,\cdots .
</math>
</center>

当 <math>n \to \infty</math> 的时候，
<center>
<math>
\left| \frac{n-1}{n+1} - 1 \right| = \frac {2}{n+1} \to 0.
</math>
</center>
所以它的极限是 <math>1</math> ，也就是原来这两个数列的极限的商。

==无穷递缩等比数列==