代數/本書課文/數例

数列

数列的概念

例如：$a$, 36, $b$, 58, 69, 80　依此數列看，其公差等於$80-69=11$，故$b=36+11=47$, $a=36-11=25$

76, $A$, 66, ... , 51, 46, $B$, 36, $C$ 　依此數列看，其公差等於$51-46=5$，故$A=66+5=71$, $B=36+5=41$, $C=36-5=31$

238, $x$, $y$, $z$, －58

如果無相鄰兩數可求公差，令公差=$d$

238－d－d－d－d=－58, 238－4d=－58, 4d=296, d=74

x = 238－74=164, y = 238－74－74=90

z = 238－74－74－74=16

238－74－74－74－74=－58, 所以答案正確。

等差数列

等差数列的概念

每一项都与前一项相差一个常数，$a_k-a_{k-1}=d$，则$\{a_k\}$为等差数列。

等差数列的通项公式

第一项是 $a_1$ ，公差是 $d$ 的等差数列的通项公式是

${𝒂}_{𝒏}\mathit{=}{𝒂}_1\mathit{+}\mathit{(}𝒏\mathit{-}1\mathit{)}𝒅$

等差数列求和

裂項法、錯位相減法、組合數求和都能求出等差数列的和。

$\sum _{k=1}^n[a_1+(k-1)d]=a_1{C}_n^1+d{C}_n^2=a_{1}n+d\frac{n(n-1)}{2}$

等比数列

等比数列的概念

每一项与前一项的比为一个常数，$\frac{a_k}{a_{k-1}}=q$，则$\{a_k\}$为等比数列。

等比数列的通项公式

第一项是 $a_1$ ，公比是 $q$ 的等比数列的通项公式是

${𝒂}_{𝒏}\mathit{=}{𝒂}_1{𝒒}^{𝒏\mathit{-}1}$

这里 $a_1\ne 0,q\ne 0,n$ 为自然数。

等比数列求和

裂項法、錯位相減法都能求出等比数列的和。

$\sum _{k=1}^n{a}_1{q}^{n-1}=a_1\frac{q^n-1}{q-1}$

差比数列

一个等差数列乘上一个等比数列是差比数列，$a_n=[a+d(n-1)]r^{n-1}$

差比数列求和

裂項法、錯位相減法、逐項求導法、阿貝爾變換、差分算子求逆法都能求出差比数列的和。

$\sum _{k=1}^n[a+(k-1)d]r^{k-1}=[\frac{a+(n-1)d}{r-1}-\frac{d}{(r-1{)}^2}]r^n-[\frac{a-d}{r-1}-\frac{d}{(r-1{)}^2}]$

等差中项与等比中项

现在我们来研究下面两个问题：

• 已知三数 $a,A,b$ 成等差数列，这三个数之间有什么样的关系？
• 已知三数 $a,G,b$ 成等比数列，这三个数之间有什么样的关系？

在解决这两个问题时，要用到等差中项和等比中项的概念。

等差中项

根据等差数列的定义，我们知道如果 $a,A,b$ 这三个数成等差数列，那么一定有

$A-a=b-A,$

由此可得

$2A=a+b,$

所以

$A=\frac{a+b}{2}.$

反过来，如果 $A=\frac{a+b}{2}$ ，那么从

$A-a=\frac{a+b}{2}-a=\frac{b-a}{2},$

$b-A=b-\frac{a+b}{2}=\frac{b-a}{2},$

也就可以知道 $a,A,b$ 这三个数成等差数列。

我们把

$A=\frac{a+b}{2}$

叫做 $a$ 和 $b$ 的等差中项。

等比中项

根据等比数列的定义，我们知道如果 $a,G,b$ 这三个数成等比数列，那么一定有

$\frac{G}{a}=\frac{b}{G},$

由此可得

$G^2=ab,$

当 $ab>0$ 的时候，就有

$G=\pm \sqrt{ab}.$

反过来，如果 $G=\pm \sqrt{ab}$ ，那么从

$\frac{G}{a}=\frac{\pm \sqrt{ab}}{a}=\pm \sqrt{\frac{b}{a}}$

和

$\frac{b}{G}=\frac{b}{\pm \sqrt{ab}}=\pm \sqrt{\frac{b}{a}},$

也就可以知道 $a,G,b$ 这三个数成等比数列。

我们把

$G=\pm \sqrt{ab}$

叫做 $a$ 和 $b$ 的等比中项。

数列的极限

数列极限的一些定理

在研究数列极限的时候，常常要用到下面这些定理，现在我们不加证明的采用。

• 定理１　如果一个数列有极限，那么它只能有一个极限。
• 定理２　如果一个数列是递增有限数列，或者是递减有限数列，那么它一定有极限。
• 定理３　如果两个数列都有极限，就是

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=A,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=B$

那么，由这两个数列各对应项的和、差、积、商所组成的数列，也有极限，并且

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_n+b_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=A+B,$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_n-b_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=A-B,$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_n\cdot b_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n\cdot \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=A\cdot B,$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}=\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n}=\frac{A}{B}(B\ne 0).$

例如，数列

$0,\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\cdots ,\frac{n-1}{n},\cdots$

的极限是 $1$ 。

数列

$\frac{2}{1},\frac{3}{2},\frac{4}{3},\frac{5}{4},\cdots ,\frac{n+1}{n},\cdots$

的极限也是 $1$ 。

以这两个数列各对应项的和作数列：

$0+\frac{2}{1},\frac{1}{2}+\frac{3}{2},\frac{2}{3}+\frac{4}{3},\frac{3}{4}+\frac{5}{4},\cdots ,\frac{n-1}{n}+\frac{n+1}{n},\cdots ,$

就是

$2,2,2,2,\cdots ,2,\cdots .$

很明显，它的极限是 $2$ ，也就是原来这两个数列极限之和。

以这两个数列各对应项的差作数列：

$0-\frac{2}{1},\frac{1}{2}-\frac{3}{2},\frac{2}{3}-\frac{4}{3},\frac{3}{4}-\frac{5}{4},\cdots ,\frac{n-1}{n}-\frac{n+1}{n},\cdots ,$

就是

$-2,-1,-\frac{2}{3},-\frac{2}{4},\cdots ,-\frac{2}{n},\cdots .$

当 $n\to \mathrm{\infty }$ 的时候，

$|-\frac{2}{n}-0|=\frac{2}{n}\to 0.$

所以它的极限是 $0$ ，也就是原来这两个数列的极限的差。

以这两个数列各对应项的积作数列：

$0\cdot \frac{2}{1},\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2},\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3},\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{4},\cdots ,\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n+1}{n},\cdots ,$

就是

$0,\frac{2^2-1}{2^2},\frac{3^2-1}{3^2},\frac{4^2-1}{4^2},\cdots ,\frac{n^2-1}{n^2},\cdots .$

当 $n\to \mathrm{\infty }$ 的时候，

$|\frac{n^2-1}{n^2}-1|=\frac{1}{n^2}\to 0.$

所以它的极限是 $1$ ，也就是原来这两个数列的极限的积。

以这两个数列各对应项的商作数列：

$\frac{0}{\frac{2}{1}},\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}},\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}},\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}},\cdots ,\frac{\frac{n-1}{n}}{\frac{n+1}{n}},\cdots ,$

就是

$0,\frac{1}{3},\frac{2}{4},\frac{3}{5},\cdots ,\frac{n-1}{n+1},\cdots .$

当 $n\to \mathrm{\infty }$ 的时候，

$|\frac{n-1}{n+1}-1|=\frac{2}{n+1}\to 0.$

所以它的极限是 $1$ ，也就是原来这两个数列的极限的商。