查看“︁分析力学/牛顿运动定律的抽象化”︁的源代码

牛顿力学大量使用矢量与几何作为描述工具，故其又称矢量力学. 牛顿力学的规律在三维欧氏空间内成立，方程是笛卡尔坐标的形式. 而分析力学是高度抽象化的力学，它在任意的非欧空间（流形）上也成立. 本节中的数学推理过程并不严谨，仅为使读者的思维更好地从牛顿力学过渡至分析力学而设. 

单质点的牛顿第二定律表达式为

<math>\boldsymbol{F}=\dot{\boldsymbol{p}}</math>

<math>\boldsymbol{F}</math>为空间上仅关于坐标 <math>\boldsymbol{r}</math>的场，而 <math>\boldsymbol{r}</math>是仅关于 <math>t</math>的函数，则上式变为

<math>\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}(t))=m\ddot{\boldsymbol{r}}(t)</math>

为方便表示，下文中将省略场和空间坐标后的参数.

对保守力而言，<math>\boldsymbol{F}</math>可以表示为一标量场 <math>U</math>的负梯度，即

<math>\begin{align}
\boldsymbol{F} &= -\nabla U \\
&= -\left(
{\partial U\over\partial x}\boldsymbol{e}_x +
{\partial U\over\partial y}\boldsymbol{e}_y +
{\partial U\over\partial z}\boldsymbol{e}_z
\right)
\end{align}</math>

场 <math>U</math>称为质点的'''势能'''.

定义质点的'''动能'''为 <math>T={1\over2}m\boldsymbol{\dot{r}}^2</math>, 则有

<math>\begin{align}
m\boldsymbol{\dot{r}} &= {\partial T\over\partial\boldsymbol{\dot{r}}} \\
&= {\partial T\over\partial \dot{x}}\boldsymbol{e}_x +
{\partial T\over\partial \dot{y}}\boldsymbol{e}_y +
{\partial T\over\partial \dot{z}}\boldsymbol{e}_z
\end{align}</math>

把三维欧氏空间内的矢量 <math>\boldsymbol{r}</math>拆分为三个独立的分量 <math>x,y,z</math>. 讨论 <math>x</math>分量，则有

<math>F_x=m\ddot{x}={\operatorname{d}\!\over\operatorname{d}\!t}(m\dot{x})</math>

代入 <math>\boldsymbol{F}</math>与 <math>m\boldsymbol{\dot{r}}</math>的表达式，则上述方程变为

<math>-{\partial U\over\partial x} =
{\operatorname{d}\!\over\operatorname{d}\!t}{\partial T\over\partial\dot{x}}</math>

<math>y,z</math>分量亦同理. 记 <math>x,y,z</math>为 <math>q_1, q_2, q_3</math>，则相应方程组可记为

<math>-{\partial U\over\partial q_i}={\operatorname{d}\!\over\operatorname{d}\!t}{\partial T\over\partial\dot{q_i}}</math>

若能找到一个和动能、势能有关的函数 <math>f(q_1, q_2, \cdots, q_i, \dot{q_1}, \dot{q_2}, \cdots, \dot{q_i}, t)</math>，它在对 <math>q_i</math>微分时等同于势能、在对 <math>\dot{q_i}</math>微分时等同于动能，则上述方程中的 <math>T</math>与 <math>U</math>皆可替换为 <math>f</math>. 三维欧氏空间中最显然的一个选择是 <math>f = E = T + U</math>，即

<math>-{\partial E\over\partial q_i}={\operatorname{d}\!\over\operatorname{d}\!t}{\partial E\over\partial\dot{q_i}}</math>

但是，在分析力学中，我们采用的是 <math>f = T - U</math>，并记函数 <math>f</math>为 <math>L</math>，上述方程就变得与数学上的[[w:歐拉-拉格朗日方程|欧拉方程]]具有相同形式了：

<math>{\partial L\over\partial q_i}={\operatorname{d}\!\over\operatorname{d}\!t}{\partial L\over\partial\dot{q_i}}</math>

<math>L</math> 被称为拉格朗日量. 

至此，我们得到了一组抽象的、纯代数的、不需要用矢量来表达的运动方程，它在三维欧氏空间中与牛顿第二定律等价. 经验证，这个方程可以直接推广至任意维度非欧空间，它甚至还可以用于量子力学和相对论力学，只需定义合适的拉格朗日量 <math>L</math>即可（<math>L = T - U</math>仅在欧氏空间内成立）。即使是在欧氏空间，<math>q_i</math>也不必是笛卡尔坐标，而可以是极坐标中的角、模量等。这是牛顿第二定律 <math>\boldsymbol{F}=\dot{\boldsymbol{p}}</math>所无法做到的.