分析力学/牛顿运动定律的抽象化

牛顿力学大量使用矢量与几何作为描述工具，故其又称矢量力学. 牛顿力学的规律在三维欧氏空间内成立，方程是笛卡尔坐标的形式. 而分析力学是高度抽象化的力学，它在任意的非欧空间（流形）上也成立. 本节中的数学推理过程并不严谨，仅为使读者的思维更好地从牛顿力学过渡至分析力学而设.

单质点的牛顿第二定律表达式为

$𝑭=\dot{𝒑}$

$𝑭$为空间上仅关于坐标 $𝒓$的场，而 $𝒓$是仅关于 $t$的函数，则上式变为

$𝑭(𝒓(t))=m\ddot{𝒓}(t)$

为方便表示，下文中将省略场和空间坐标后的参数.

对保守力而言，$𝑭$可以表示为一标量场 $U$的负梯度，即

$\begin{array}{cc}𝑭& =-\mathrm{\nabla }U\\ & =-(\frac{\partial U}{\partial x}{𝒆}_x+\frac{\partial U}{\partial y}{𝒆}_y+\frac{\partial U}{\partial z}{𝒆}_z)\end{array}$

场 $U$称为质点的势能.

定义质点的动能为 $T=\frac{1}{2}m{\dot{𝒓}}^2$, 则有

$\begin{array}{cc}m\dot{𝒓}& =\frac{\partial T}{\partial \dot{𝒓}}\\ & =\frac{\partial T}{\partial \dot{x}}{𝒆}_x+\frac{\partial T}{\partial \dot{y}}{𝒆}_y+\frac{\partial T}{\partial \dot{z}}{𝒆}_z\end{array}$

把三维欧氏空间内的矢量 $𝒓$拆分为三个独立的分量 $x,y,z$. 讨论 $x$分量，则有

$F_x=m\ddot{x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m\dot{x})$

代入 $𝑭$与 $m\dot{𝒓}$的表达式，则上述方程变为

$-\frac{\partial U}{\partial x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial T}{\partial \dot{x}}$

$y,z$分量亦同理. 记 $x,y,z$为 $q_1,q_2,q_3$，则相应方程组可记为

$-\frac{\partial U}{\partial q_i}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial T}{\partial \dot{q_i}}$

若能找到一个和动能、势能有关的函数 $f(q_1,q_2,\cdots ,q_i,\dot{q_1},\dot{q_2},\cdots ,\dot{q_i},t)$，它在对 $q_i$微分时等同于势能、在对 $\dot{q_i}$微分时等同于动能，则上述方程中的 $T$与 $U$皆可替换为 $f$. 三维欧氏空间中最显然的一个选择是 $f=E=T+U$，即

$-\frac{\partial E}{\partial q_i}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial E}{\partial \dot{q_i}}$

但是，在分析力学中，我们采用的是 $f=T-U$，并记函数 $f$为 $L$，上述方程就变得与数学上的欧拉方程具有相同形式了：

$\frac{\partial L}{\partial q_i}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}$

$L$ 被称为拉格朗日量.

至此，我们得到了一组抽象的、纯代数的、不需要用矢量来表达的运动方程，它在三维欧氏空间中与牛顿第二定律等价. 经验证，这个方程可以直接推广至任意维度非欧空间，它甚至还可以用于量子力学和相对论力学，只需定义合适的拉格朗日量 $L$即可（$L=T-U$仅在欧氏空间内成立）。即使是在欧氏空间，$q_i$也不必是笛卡尔坐标，而可以是极坐标中的角、模量等。这是牛顿第二定律 $𝑭=\dot{𝒑}$所无法做到的.