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== 阅读指南 ==
希望快速了解或快速回顾初中数学的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。

本节介绍的是毕达哥拉斯定理，也叫勾股定理或百牛定理。它在3000多年前已经被人们所证明，是数学中最知名、证明方法最多的定理，也是最重要的定理之一。勾股定理最广泛的应用是距离的间接测量和对数据抽象距离的定义。高中数学中的[[高中数学/函数与三角/余弦定理|余弦定理]]、微积分学和[[w:泛函分析|泛函分析]]中的[[w:帕塞瓦尔恒等式|帕塞瓦尔恒等式]]都是勾股定理的重要推广。其中帕塞瓦尔恒等式在物理学和信号分析研究中也是[[w:能量守恒定理|能量守恒定理]]的数学体现。由它产生的[[w:勾股数|勾股数]]也与[[w:费马大定理|费马大定理]]有联系。

传说古希腊数学家和哲学家[[w:毕达哥拉斯|毕达哥拉斯]]为了庆祝它的成功证明，宰杀了上百头牛举办了大型宴席。这个定理故名“百牛定理”。

== 基础知识 ==
=== 畢氏定理及其逆定理 ===
{{more|初中數學/畢氏定理}}

[[File:Rtriangle.svg|right|thumb|150px|勾股定理：在直角三角形中，2个直角边长的平方和等于斜边长的平方。]]
我们知道，三角形三個角當中有一個角是直角，這個三角形就叫做直角三角形。直角的對邊叫做「斜邊」，直角的兩個鄰邊叫做「股」。例如在右方直角三角形，C為直角，另兩角為A、B，a為短股、b為長股、c為斜邊。

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
[[File:Crystal Project Warehause.png | Crystal Project Warehause | 50px]]
勾股定理（毕氏定理，Pythagorean theorem）：在'''直角'''三角形中，兩股平方和等於斜邊平方。

也即若'''直角'''三角形的邊長分别為a、b、c <math>(a < b < c)</math>，則<math>a^2 + b^2 = c^2</math>。
</blockquote>

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
[[File:Crystal Project Warehause.png | Crystal Project Warehause | 50px]]
勾股定理的逆定理：若三角形的邊長分别為a、b、c <math>(a < b < c)</math>，且有<math>a^2 + b^2 = c^2</math>成立，那么此三角形一定是'''直角'''三角形，其中c的对边为直角。
</blockquote>

[[File:Crystal Clear app error.png | Crystal Clear app error | 50px]]
注意：勾股定理中的关系式是<math>a^2 + b^2 = c^2</math>，而不是<math>a + b = c</math>。

勾股定理的一种图示证明如下图所示。
[[File:Pythagorean_proof.svg|left|250px]]

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== 常用结论与常见模型 ==
=== 三维情形 ===
求长方体的对角线长度时，我们需要用到两次用到勾股定理，从而得到更一般的三维空间中的勾股定理。

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
[[File:Crystal Project Warehause.png | Crystal Project Warehause | 50px]]
若长方体沿不同方向的邊長分别為a、b、c，不共平面的一对顶点之间的连线长度为d，则有<math>a^2 + b^2 + c^2 = d^2</math>成立。
</blockquote>

我们会在后续的[[初中数学/几何/三维空间中的投影与距离|三维空间中的投影与距离]]章节中继续学习它。

=== 相关结论 ===
许多常见定理是借助勾股定理推出的。

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
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中线长定理（[[w:阿波罗尼奥斯|阿波罗尼奥斯]]定理）：三角形一条中线的两侧所对边的平方和，等于底边一半的平方与该边中线的平方和的2倍。
</blockquote>

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
[[File:Crystal Project Warehause.png | Crystal Project Warehause | 50px]]
平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和。
</blockquote>

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
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等差幂线定理（平面情形）：如果有A、B、C、D四个不同点，满足<math>AB \perp CD</math>，那么有<math>AC^2 - AD^2 = BC^2 - BD^2</math>。
</blockquote>

[[File:Crystal Clear action info.png | Crystal Clear action info | 50px]]
提示：等差幂线的这个关系式<math>AC^2 - AD^2 = BC^2 - BD^2</math>也可以用来定义已知直线的垂线。即已知直线两点BC，满足<math>AB^2 - BC^2</math>为定值的点A的轨迹垂直于BC。

=== 勾股数 ===
可以使<math>a^2 + b^2 = c^2</math>成立的正数a、b、c叫做一个'''毕氏三元组'''（'''Pythagorean triple'''），简称一组'''勾股数'''。

<!-- 本小结例题1 -->
[[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]]
相关例题1：求证勾股数有无穷多组。

<!-- 本小结例题2 -->
[[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]]
相关例题2：求证在一组勾股数a、b、c中，要么没有奇数，要么刚好有2个奇数。

=== 勾股树 ===
[[Image:Pythagoras tree 1 1 13 Summer.svg|thumb|两侧平衡的[[w:毕达哥拉斯树|毕达哥拉斯树]]。]]
有一种基于勾股定理构造的漂亮分形，叫'''毕达哥拉斯树'''或'''勾股树'''。它由一个正方形作为起点，不断通过构造相接的直角三角形而得到。我们会在后续的[[w:微积分|微积分]]课程中学习到这种[[初中数学/几何/一般图形的相似与自相似|自相似的分形]]具有有限的面积和无限的周长。勾股树也是许多计算机编程绘图教程中的经典示例，常用一种叫做[[w:深度优先搜索|深度优先搜索]]的[[w:递归 (计算机科学)|递归式算法]]绘制。

=== 基于尺规作图的根号估值 ===
*<math>\sqrt{1} = 1</math>
*<math>\sqrt{2}</math>
*#作短股 1 公分、長股 1 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：1<sup>2</sup>+1<sup>2</sup>=c<sup>2</sup>，所以c<sup>2</sup>=2，c=<math>\sqrt{2}</math>(參見第二段)
*#用尺量，<math>\sqrt{2}</math>約等於 1.4 公分。
*#由於<math>\sqrt{2}^2 = 2</math>，所以一位一位求下去，可以得<math>\sqrt{2}</math>的近似值為 1.414
*<math>\sqrt{3}</math>
*#作短股 1 公分、斜邊 2 公分的直角三角形，長股為 b ，依畢氏定理：1<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>=2<sup>2</sup>，所以b<sup>2</sup>=3，b=<math>\sqrt{3}</math>(參見第二段)
*#用尺量，<math>\sqrt{3}</math>約等於 1.7 公分。
*#由於<math>\sqrt{3}^2=3</math>，所以一位一位求下去，可以得<math>\sqrt{3}</math>的近似值為 1.732
*<math>\sqrt{4}=2</math>
*<math>\sqrt{5}</math>
*#作短股 1 公分、長股 2 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：1<sup>2</sup>+2<sup>2</sup>=c<sup>2</sup>，所以c<sup>2</sup>=5，c=<math>\sqrt{5}</math>(參見第二段)
*#用尺量，<math>\sqrt{5}</math>約等於 2.2 公分。
*#由於<math>\sqrt{5}^2=5</math>，所以一位一位求下去，可以得<math>\sqrt{5}</math>的近似值為 2.236
*#也可以作短股 <math>\sqrt{2}</math> 公分、長股 <math>\sqrt{3}</math> 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：<math>\sqrt{2}^2+\sqrt{3}^2=c^2</math>，所以c<sup>2</sup>=5，c=<math>\sqrt{5}</math>(參見第二段)
*#也可以作短股 2 公分、長股 b 公分、斜邊 3 公分的直角三角形，依畢氏定理：2<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>=3<sup>2</sup>，所以b<sup>2</sup>=5，b=<math>\sqrt{5}</math>(參見第二段)
*<math>\sqrt{6}</math>
*#<math>\sqrt{6}=\sqrt{2}*\sqrt{3}</math>，不信的話你兩邊都給它平方，看會不會相等：
*#*左邊平方<math>\sqrt{6}^2=6=2*3=\sqrt{2}^2*\sqrt{3}^2=\sqrt{2}*\sqrt{2}*\sqrt{3}*\sqrt{3}</math>
*#*右邊平方<math>\left(\sqrt{2}*\sqrt{3}\right)^2=\left(\sqrt{2}*\sqrt{3}\right)*\left(\sqrt{2}*\sqrt{3}\right)=\sqrt{2}*\sqrt{2}*\sqrt{3}*\sqrt{3}</math>
*#以短股 1 公分、長股 2 公分的直角三角形，斜邊為<math>\sqrt{5}</math>；再作短股 1 公分長股<math>\sqrt{5}</math>公分的直角三角形，斜邊為<math>\sqrt{6}</math>。
*#第一種求近似值的方法，量<math>\sqrt{6}</math>約為 2.4 ，再利用<math>\sqrt{6}^2=6</math>，求得近似值 2.449 。
*#第二種求近似值的方法，直接拿 1.414(<math>\sqrt{2}</math>的近似值) 乘以 1.732(<math>\sqrt{3}</math>的近似值) ，即得 2.449 (<math>\sqrt{6}</math>的近似值) 。
*#對根號來說，乘法可以拆離、合併，加法不能拆離、合併。
*<math>\sqrt{7}</math>
*#以短股 1 公分、斜邊 2 公分的直角三角形，長股為<math>\sqrt{3}</math>；再作短股 <math>\sqrt{3}</math> 公分長股 2 公分的直角三角形，斜邊為<math>\sqrt{7}</math>。
*#求近似值的方法，量<math>\sqrt{7}</math>約為 2.6 ，再利用<math>\sqrt{7}^2=7</math>，求得近似值 2.646 。
*<math>\sqrt{8}</math>
*#作圖方法一：作短股 2 公分、長股 2 公分、斜邊 c 公分的直角三角形，依畢氏定理：2<sup>2</sup>+2<sup>2</sup>=c<sup>2</sup>，所以c<sup>2</sup>=8，c=<math>\sqrt{8}</math>(參見第二段)
*#作圖方法二：作短股 1 公分、斜邊 3 公分的直角三角形，長股為 b ，依畢氏定理：1<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>=3<sup>2</sup>，所以b<sup>2</sup>=8，b=<math>\sqrt{8}</math>(參見第二段)
*#第一種求近似值的方法，量<math>\sqrt{8}</math>約為 2.8 ，再利用<math>\sqrt{8}^2=8</math>，求得近似值 2.828 。
*#第二種求近似值的方法，<math>\sqrt{8}=\sqrt{2*2*2}=\sqrt{2}*\sqrt{2}*\sqrt{2}=2*\sqrt{2}</math>直接拿 2 乘以 1.414(<math>\sqrt{2}</math>的近似值)，即得 2.828 (<math>\sqrt{8}</math>的近似值) 。
*<math>\sqrt{9}=3</math>
*<math>\sqrt{10}</math>
*#作短股 1 公分、長股 3 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：1<sup>2</sup>+3<sup>2</sup>=c<sup>2</sup>，所以c<sup>2</sup>=10，c=<math>\sqrt{10}</math>(參見第二段)
*#用尺量，<math>\sqrt{10}</math>約等於 3.2 公分。
*#由於<math>\sqrt{10}^2=10</math>，所以一位一位求下去，可以得<math>\sqrt{10}</math>的近似值為 3.162 。

== 补充习题 ==
[[File:Crystal Clear app ksirtet.png | Crystal Clear app ksirtet | 50px]]

== 参考资料 ==
{{Reflist}}

== 外部链接 ==
{{Wikipedia|毕氏定理}}
{{Wikipedia|勾股数}}

{{DEFAULTSORT:Pythagorean theorem}}
[[category:数学定理]]
[[category:幾何學]]
[[category:初中数学]]