初中数学/几何/毕氏定理及其逆定理

阅读指南

希望快速了解或快速回顾初中数学的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。

本节介绍的是毕达哥拉斯定理，也叫勾股定理或百牛定理。它在3000多年前已经被人们所证明，是数学中最知名、证明方法最多的定理，也是最重要的定理之一。勾股定理最广泛的应用是距离的间接测量和对数据抽象距离的定义。高中数学中的余弦定理、微积分学和泛函分析中的帕塞瓦尔恒等式都是勾股定理的重要推广。其中帕塞瓦尔恒等式在物理学和信号分析研究中也是能量守恒定理的数学体现。由它产生的勾股数也与费马大定理有联系。

传说古希腊数学家和哲学家毕达哥拉斯为了庆祝它的成功证明，宰杀了上百头牛举办了大型宴席。这个定理故名“百牛定理”。

基础知识

畢氏定理及其逆定理

勾股定理：在直角三角形中，2个直角边长的平方和等于斜边长的平方。

我们知道，三角形三個角當中有一個角是直角，這個三角形就叫做直角三角形。直角的對邊叫做「斜邊」，直角的兩個鄰邊叫做「股」。例如在右方直角三角形，C為直角，另兩角為A、B，a為短股、b為長股、c為斜邊。

勾股定理（毕氏定理，Pythagorean theorem）：在直角三角形中，兩股平方和等於斜邊平方。

也即若直角三角形的邊長分别為a、b、c $(a<b<c)$，則$a^2+b^2=c^2$。

勾股定理的逆定理：若三角形的邊長分别為a、b、c $(a<b<c)$，且有$a^2+b^2=c^2$成立，那么此三角形一定是直角三角形，其中c的对边为直角。

注意：勾股定理中的关系式是$a^2+b^2=c^2$，而不是$a+b=c$。

勾股定理的一种图示证明如下图所示。

常用结论与常见模型

三维情形

求长方体的对角线长度时，我们需要用到两次用到勾股定理，从而得到更一般的三维空间中的勾股定理。

若长方体沿不同方向的邊長分别為a、b、c，不共平面的一对顶点之间的连线长度为d，则有$a^2+b^2+c^2=d^2$成立。

我们会在后续的三维空间中的投影与距离章节中继续学习它。

相关结论

许多常见定理是借助勾股定理推出的。

中线长定理（阿波罗尼奥斯定理）：三角形一条中线的两侧所对边的平方和，等于底边一半的平方与该边中线的平方和的2倍。

平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和。

等差幂线定理（平面情形）：如果有A、B、C、D四个不同点，满足$AB\perp CD$，那么有$A{C}^2-A{D}^2=B{C}^2-B{D}^2$。

提示：等差幂线的这个关系式$A{C}^2-A{D}^2=B{C}^2-B{D}^2$也可以用来定义已知直线的垂线。即已知直线两点BC，满足$A{B}^2-B{C}^2$为定值的点A的轨迹垂直于BC。

勾股数

可以使$a^2+b^2=c^2$成立的正数a、b、c叫做一个毕氏三元组（Pythagorean triple），简称一组勾股数。

相关例题1：求证勾股数有无穷多组。

相关例题2：求证在一组勾股数a、b、c中，要么没有奇数，要么刚好有2个奇数。

勾股树

两侧平衡的毕达哥拉斯树。

有一种基于勾股定理构造的漂亮分形，叫毕达哥拉斯树或勾股树。它由一个正方形作为起点，不断通过构造相接的直角三角形而得到。我们会在后续的微积分课程中学习到这种自相似的分形具有有限的面积和无限的周长。勾股树也是许多计算机编程绘图教程中的经典示例，常用一种叫做深度优先搜索的递归式算法绘制。

基于尺规作图的根号估值

• $\sqrt{1}=1$
• $\sqrt{2}$
  1. 作短股 1 公分、長股 1 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：1²+1²=c²，所以c²=2，c=$\sqrt{2}$(參見第二段)
  2. 用尺量，$\sqrt{2}$約等於 1.4 公分。
  3. 由於${\sqrt{2}}^2=2$，所以一位一位求下去，可以得$\sqrt{2}$的近似值為 1.414
• $\sqrt{3}$
  1. 作短股 1 公分、斜邊 2 公分的直角三角形，長股為 b ，依畢氏定理：1²+b²=2²，所以b²=3，b=$\sqrt{3}$(參見第二段)
  2. 用尺量，$\sqrt{3}$約等於 1.7 公分。
  3. 由於${\sqrt{3}}^2=3$，所以一位一位求下去，可以得$\sqrt{3}$的近似值為 1.732
• $\sqrt{4}=2$
• $\sqrt{5}$
  1. 作短股 1 公分、長股 2 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：1²+2²=c²，所以c²=5，c=$\sqrt{5}$(參見第二段)
  2. 用尺量，$\sqrt{5}$約等於 2.2 公分。
  3. 由於${\sqrt{5}}^2=5$，所以一位一位求下去，可以得$\sqrt{5}$的近似值為 2.236
  4. 也可以作短股 $\sqrt{2}$ 公分、長股 $\sqrt{3}$ 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：${\sqrt{2}}^2+{\sqrt{3}}^2=c^2$，所以c²=5，c=$\sqrt{5}$(參見第二段)
  5. 也可以作短股 2 公分、長股 b 公分、斜邊 3 公分的直角三角形，依畢氏定理：2²+b²=3²，所以b²=5，b=$\sqrt{5}$(參見第二段)
• $\sqrt{6}$
  1. $\sqrt{6}=\sqrt{2}*\sqrt{3}$，不信的話你兩邊都給它平方，看會不會相等：
     • 左邊平方${\sqrt{6}}^2=6=2*3={\sqrt{2}}^2*{\sqrt{3}}^2=\sqrt{2}*\sqrt{2}*\sqrt{3}*\sqrt{3}$
     • 右邊平方${(\sqrt{2}*\sqrt{3})}^2=(\sqrt{2}*\sqrt{3})*(\sqrt{2}*\sqrt{3})=\sqrt{2}*\sqrt{2}*\sqrt{3}*\sqrt{3}$
  2. 以短股 1 公分、長股 2 公分的直角三角形，斜邊為$\sqrt{5}$；再作短股 1 公分長股$\sqrt{5}$公分的直角三角形，斜邊為$\sqrt{6}$。
  3. 第一種求近似值的方法，量$\sqrt{6}$約為 2.4 ，再利用${\sqrt{6}}^2=6$，求得近似值 2.449 。
  4. 第二種求近似值的方法，直接拿 1.414($\sqrt{2}$的近似值) 乘以 1.732($\sqrt{3}$的近似值) ，即得 2.449 ($\sqrt{6}$的近似值) 。
  5. 對根號來說，乘法可以拆離、合併，加法不能拆離、合併。
• $\sqrt{7}$
  1. 以短股 1 公分、斜邊 2 公分的直角三角形，長股為$\sqrt{3}$；再作短股 $\sqrt{3}$ 公分長股 2 公分的直角三角形，斜邊為$\sqrt{7}$。
  2. 求近似值的方法，量$\sqrt{7}$約為 2.6 ，再利用${\sqrt{7}}^2=7$，求得近似值 2.646 。
• $\sqrt{8}$
  1. 作圖方法一：作短股 2 公分、長股 2 公分、斜邊 c 公分的直角三角形，依畢氏定理：2²+2²=c²，所以c²=8，c=$\sqrt{8}$(參見第二段)
  2. 作圖方法二：作短股 1 公分、斜邊 3 公分的直角三角形，長股為 b ，依畢氏定理：1²+b²=3²，所以b²=8，b=$\sqrt{8}$(參見第二段)
  3. 第一種求近似值的方法，量$\sqrt{8}$約為 2.8 ，再利用${\sqrt{8}}^2=8$，求得近似值 2.828 。
  4. 第二種求近似值的方法，$\sqrt{8}=\sqrt{2*2*2}=\sqrt{2}*\sqrt{2}*\sqrt{2}=2*\sqrt{2}$直接拿 2 乘以 1.414($\sqrt{2}$的近似值)，即得 2.828 ($\sqrt{8}$的近似值) 。
• $\sqrt{9}=3$
• $\sqrt{10}$
  1. 作短股 1 公分、長股 3 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：1²+3²=c²，所以c²=10，c=$\sqrt{10}$(參見第二段)
  2. 用尺量，$\sqrt{10}$約等於 3.2 公分。
  3. 由於${\sqrt{10}}^2=10$，所以一位一位求下去，可以得$\sqrt{10}$的近似值為 3.162 。

补充习题