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[[分類:數學]]
===基本說明===
注意：本文用「*」表示乘號，代替小學時期用的「×」，因為「×」容易和「x」混淆。

*a代表某數，<math>\sqrt{a}</math>是什麼意思呢？就是<math>\sqrt{a}*\sqrt{a}=a</math>，變成規則就有：
*#根號a乘以根號a等於a，<math>\sqrt{a}*\sqrt{a}=a</math>
*#根號a平方等於a，<math>\sqrt{a}^2=a</math>
*#根號a的平方等於a，<math>\sqrt{a^2}=a</math>
*#a等於根號a乘以根號a，也等於根號a平方，再等於根號a的平方，<math>a=\sqrt{a}*\sqrt{a}=\sqrt{a}^2=\sqrt{a^2}</math>
*#以<math>\sqrt{2}</math>為例，以下四個數均相等：<math>2=\sqrt{2}*\sqrt{2}=\sqrt{2}^2=\sqrt{2^2}</math>
*根號這種運算，乘、除可以拆離、合併，加、減不能拆離、合併。即：<math>\sqrt{a*b}=\sqrt{a}*\sqrt{b}</math>，<math>\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}</math>但<math>\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}</math>，<math>\sqrt{a-b}\neq\sqrt{a}-\sqrt{b}</math>
*#以4和1為例，<math>\sqrt{4*1}=\sqrt{4}*\sqrt{1}</math>，<math>\sqrt{\frac{4}{1}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{1}}</math>但<math>\sqrt{4+1}\neq\sqrt{4}+\sqrt{1}</math>，<math>\sqrt{4-1}\neq\sqrt{4}-\sqrt{1}</math>

==由基本練習理解根號==
===一、平方，求下列各數的值：===
平方是自己乘以自己，a<sup>2</sup>=a*a

1<sup>2</sup>=　　2<sup>2</sup>=　　3<sup>2</sup>=　　4<sup>2</sup>=　　5<sup>2</sup>=　　6<sup>2</sup>=　　7<sup>2</sup>=　　8<sup>2</sup>=　　9<sup>2</sup>=　　10<sup>2</sup>=　　11<sup>2</sup>=　　12<sup>2</sup>=　　0.7<sup>2</sup>=　　(1.2)<sup>2</sup>=　　<math>\left(\frac{1}{2}\right)^2=</math>　　<math>\left(\frac{1}{3}\right)^2=</math>　　
<math>\left(\frac{2}{3}\right)^2=</math>　　

===二、根號(開方)，求下列各數的值：===
====(一)、從<math>\sqrt{a}*\sqrt{a}</math>開始====
<math>\sqrt{1}*\sqrt{1}</math>=　<math>\sqrt{2}*\sqrt{2}</math>=　<math>\sqrt{3}*\sqrt{3}</math>=　　<math>\sqrt{4}*\sqrt{4}</math>=　<math>\sqrt{5}*\sqrt{5}</math>=　　<math>\sqrt{6}*\sqrt{6}</math>=　　<math>\sqrt{7}*\sqrt{7}</math>=　   <math>\sqrt{8}*\sqrt{8}</math>=　　<math>\sqrt{9}*\sqrt{9}</math>=　<math>\sqrt{10}*\sqrt{10}</math>=

====(二)、從<math>\sqrt{a}^2</math>開始====
<math>\sqrt{1}^2</math>=　　<math>\sqrt{2}^2</math>=　　<math>\sqrt{3}^2</math>=　　<math>\sqrt{4}^2</math>= 　<math>\sqrt{5}^2</math>=　　<math>\sqrt{6}^2</math>=　　<math>\sqrt{7}^2</math>=　　<math>\sqrt{8}^2</math>=　　<math>\sqrt{9}^2</math>=　　<math>\sqrt{10}^2</math>=　　
====(三)、從 a 開始====
1=1　　2=4　　3=9　　4=16　　5=25　　6=36　　7=49　　8=64　　9=81　　10=100　　

====(四)、從<math>\sqrt{a^2}</math>開始====
<math>\sqrt{1^2}</math>=　　<math>\sqrt{2^2}</math>=　　<math>\sqrt{3^2}</math>=　　<math>\sqrt{4^2}</math>=　　<math>\sqrt{5^2}</math>=　　<math>\sqrt{6^2}</math>=　　<math>\sqrt{7^2}</math>=　　<math>\sqrt{8^2}</math>=　　<math>\sqrt{9^2}</math>=　　<math>\sqrt{10^2}</math>=　　
====(五)、從<math>\sqrt{a^2}</math>開始====
<math>\sqrt{1}</math>=　　<math>\sqrt{4}</math>=　　<math>\sqrt{9}</math>=　　<math>\sqrt{16}</math>=　　<math>\sqrt{25}</math>=　　<math>\sqrt{36}</math>=　　<math>\sqrt{49}</math>=　　<math>\sqrt{64}</math>=　　<math>\sqrt{81}</math>=　　<math>\sqrt{100}</math>=　　<math>\sqrt{169}</math>=　　

===三、畢氏定理===
直角三角形，短股平方+長股平方=斜邊平方，一般表達為：
a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>=c<sup>2</sup>，請圖解：(切記不是 a+b=c)

===四、根號求值===
*<math>\sqrt{1}=1</math>
*<math>\sqrt{2}</math>
*#作短股 1 公分、長股 1 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：1<sup>2</sup>+1<sup>2</sup>=c<sup>2</sup>，所以c<sup>2</sup>=2，c=<math>\sqrt{2}</math>(參見第二段)
*#用尺量，<math>\sqrt{2}</math>約等於 1.4 公分。
*#由於<math>\sqrt{2}^2=2</math>，所以一位一位求下去，可以得<math>\sqrt{2}</math>的近似值為 1.414
*<math>\sqrt{3}</math>
*#作短股 1 公分、斜邊 2 公分的直角三角形，長股為 b ，依畢氏定理：1<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>=2<sup>2</sup>，所以b<sup>2</sup>=3，b=<math>\sqrt{3}</math>(參見第二段)
*#用尺量，<math>\sqrt{3}</math>約等於 1.7 公分。
*#由於<math>\sqrt{3}^2=3</math>，所以一位一位求下去，可以得<math>\sqrt{3}</math>的近似值為 1.732
*<math>\sqrt{4}=2</math>
*<math>\sqrt{5}</math>
*#作短股 1 公分、長股 2 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：1<sup>2</sup>+2<sup>2</sup>=c<sup>2</sup>，所以c<sup>2</sup>=5，c=<math>\sqrt{5}</math>(參見第二段)
*#用尺量，<math>\sqrt{5}</math>約等於 2.2 公分。
*#由於<math>\sqrt{5}^2=5</math>，所以一位一位求下去，可以得<math>\sqrt{5}</math>的近似值為 2.236
*#也可以作短股 <math>\sqrt{2}</math> 公分、長股 <math>\sqrt{3}</math> 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：<math>\sqrt{2}^2+\sqrt{3}^2=c^2</math>，所以c<sup>2</sup>=5，c=<math>\sqrt{5}</math>(參見第二段)
*#也可以作短股 2 公分、長股 b 公分、斜邊 3 公分的直角三角形，依畢氏定理：2<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>=3<sup>2</sup>，所以b<sup>2</sup>=5，b=<math>\sqrt{5}</math>(參見第二段)
*<math>\sqrt{6}</math>
*#<math>\sqrt{6}=\sqrt{2}*\sqrt{3}</math>，不信的話你兩邊都給它平方，看會不會相等：
*#*左邊平方<math>\sqrt{6}^2=6=2*3=\sqrt{2}^2*\sqrt{3}^2=\sqrt{2}*\sqrt{2}*\sqrt{3}*\sqrt{3}</math>
*#*右邊平方<math>\left(\sqrt{2}*\sqrt{3}\right)^2=\left(\sqrt{2}*\sqrt{3}\right)*\left(\sqrt{2}*\sqrt{3}\right)=\sqrt{2}*\sqrt{2}*\sqrt{3}*\sqrt{3}</math>
*#以短股 1 公分、長股 2 公分的直角三角形，斜邊為<math>\sqrt{5}</math>；再作短股 1 公分長股<math>\sqrt{5}</math>公分的直角三角形，斜邊為<math>\sqrt{6}</math>。
*#第一種求近似值的方法，量<math>\sqrt{6}</math>約為 2.4 ，再利用<math>\sqrt{6}^2=6</math>，求得近似值 2.449 。
*#第二種求近似值的方法，直接拿 1.414(<math>\sqrt{2}</math>的近似值) 乘以 1.732(<math>\sqrt{3}</math>的近似值) ，即得 2.449 (<math>\sqrt{6}</math>的近似值) 。
*#對根號來說，乘法可以拆離、合併，加法不能拆離、合併。
*<math>\sqrt{7}</math>
*#以短股 1 公分、斜邊 2 公分的直角三角形，長股為<math>\sqrt{3}</math>；再作短股 <math>\sqrt{3}</math> 公分長股 2 公分的直角三角形，斜邊為<math>\sqrt{7}</math>。
*#求近似值的方法，量<math>\sqrt{7}</math>約為 2.6 ，再利用<math>\sqrt{7}^2=7</math>，求得近似值 2.646 。
*<math>\sqrt{8}</math>
*#作圖方法一：作短股 2 公分、長股 2 公分、斜邊 c 公分的直角三角形，依畢氏定理：2<sup>2</sup>+2<sup>2</sup>=c<sup>2</sup>，所以c<sup>2</sup>=8，c=<math>\sqrt{8}</math>(參見第二段)
*#作圖方法二：作短股 1 公分、斜邊 3 公分的直角三角形，長股為 b ，依畢氏定理：1<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>=3<sup>2</sup>，所以b<sup>2</sup>=8，b=<math>\sqrt{8}</math>(參見第二段)
*#第一種求近似值的方法，量<math>\sqrt{8}</math>約為 2.8 ，再利用<math>\sqrt{8}^2=8</math>，求得近似值 2.828 。
*#第二種求近似值的方法，<math>\sqrt{8}=\sqrt{2*2*2}=\sqrt{2}*\sqrt{2}*\sqrt{2}=2*\sqrt{2}</math>直接拿 2 乘以 1.414(<math>\sqrt{2}</math>的近似值)，即得 2.828 (<math>\sqrt{8}</math>的近似值) 。
*<math>\sqrt{9}=3</math>
*<math>\sqrt{10}</math>
*#作短股 1 公分、長股 3 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：1<sup>2</sup>+3<sup>2</sup>=c<sup>2</sup>，所以c<sup>2</sup>=10，c=<math>\sqrt{10}</math>(參見第二段)
*#用尺量，<math>\sqrt{10}</math>約等於 3.2 公分。
*#由於<math>\sqrt{10}^2=10</math>，所以一位一位求下去，可以得<math>\sqrt{10}</math>的近似值為 3.162