初中数学/算术与代数/乘方与开方

基本說明

注意：本文用「*」表示乘號，代替小學時期用的「×」，因為「×」容易和「x」混淆。

• a代表某數，$\sqrt{a}$是什麼意思呢？就是$\sqrt{a}*\sqrt{a}=a$，變成規則就有：
  1. 根號a乘以根號a等於a，$\sqrt{a}*\sqrt{a}=a$
  2. 根號a平方等於a，${\sqrt{a}}^2=a$
  3. 根號a的平方等於a，$\sqrt{a^2}=a$
  4. a等於根號a乘以根號a，也等於根號a平方，再等於根號a的平方，$a=\sqrt{a}*\sqrt{a}={\sqrt{a}}^2=\sqrt{a^2}$
  5. 以$\sqrt{2}$為例，以下四個數均相等：$2=\sqrt{2}*\sqrt{2}={\sqrt{2}}^2=\sqrt{2^2}$
• 根號這種運算，乘、除可以拆離、合併，加、減不能拆離、合併。即：$\sqrt{a*b}=\sqrt{a}*\sqrt{b}$，$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$但$\sqrt{a+b}\ne \sqrt{a}+\sqrt{b}$，$\sqrt{a-b}\ne \sqrt{a}-\sqrt{b}$
  1. 以4和1為例，$\sqrt{4*1}=\sqrt{4}*\sqrt{1}$，$\sqrt{\frac{4}{1}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{1}}$但$\sqrt{4+1}\ne \sqrt{4}+\sqrt{1}$，$\sqrt{4-1}\ne \sqrt{4}-\sqrt{1}$

由基本練習理解根號

一、平方，求下列各數的值：

平方是自己乘以自己，a²=a*a

1²=　　2²=　　3²=　　4²=　　5²=　　6²=　　7²=　　8²=　　9²=　　10²=　　11²=　　12²=　　0.7²=　　(1.2)²=　　${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=$　　${\left(\frac{1}{3}\right)}^2=$　　 ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=$　　

二、根號(開方)，求下列各數的值：

(一)、從$\sqrt{a}*\sqrt{a}$開始

$\sqrt{1}*\sqrt{1}$=　$\sqrt{2}*\sqrt{2}$=　$\sqrt{3}*\sqrt{3}$=　　$\sqrt{4}*\sqrt{4}$=　$\sqrt{5}*\sqrt{5}$=　　$\sqrt{6}*\sqrt{6}$=　　$\sqrt{7}*\sqrt{7}$=　 $\sqrt{8}*\sqrt{8}$=　　$\sqrt{9}*\sqrt{9}$=　$\sqrt{10}*\sqrt{10}$=

(二)、從${\sqrt{a}}^2$開始

${\sqrt{1}}^2$=　　${\sqrt{2}}^2$=　　${\sqrt{3}}^2$=　　${\sqrt{4}}^2$= 　${\sqrt{5}}^2$=　　${\sqrt{6}}^2$=　　${\sqrt{7}}^2$=　　${\sqrt{8}}^2$=　　${\sqrt{9}}^2$=　　${\sqrt{10}}^2$=　　

(三)、從 a 開始

1=1　　2=4　　3=9　　4=16　　5=25　　6=36　　7=49　　8=64　　9=81　　10=100　　

(四)、從$\sqrt{a^2}$開始

$\sqrt{1^2}$=　　$\sqrt{2^2}$=　　$\sqrt{3^2}$=　　$\sqrt{4^2}$=　　$\sqrt{5^2}$=　　$\sqrt{6^2}$=　　$\sqrt{7^2}$=　　$\sqrt{8^2}$=　　$\sqrt{9^2}$=　　$\sqrt{10^2}$=　　

(五)、從$\sqrt{a^2}$開始

$\sqrt{1}$=　　$\sqrt{4}$=　　$\sqrt{9}$=　　$\sqrt{16}$=　　$\sqrt{25}$=　　$\sqrt{36}$=　　$\sqrt{49}$=　　$\sqrt{64}$=　　$\sqrt{81}$=　　$\sqrt{100}$=　　$\sqrt{169}$=　　

三、畢氏定理

直角三角形，短股平方+長股平方=斜邊平方，一般表達為： a²+b²=c²，請圖解：(切記不是 a+b=c)

四、根號求值

• $\sqrt{1}=1$
• $\sqrt{2}$
  1. 作短股 1 公分、長股 1 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：1²+1²=c²，所以c²=2，c=$\sqrt{2}$(參見第二段)
  2. 用尺量，$\sqrt{2}$約等於 1.4 公分。
  3. 由於${\sqrt{2}}^2=2$，所以一位一位求下去，可以得$\sqrt{2}$的近似值為 1.414
• $\sqrt{3}$
  1. 作短股 1 公分、斜邊 2 公分的直角三角形，長股為 b ，依畢氏定理：1²+b²=2²，所以b²=3，b=$\sqrt{3}$(參見第二段)
  2. 用尺量，$\sqrt{3}$約等於 1.7 公分。
  3. 由於${\sqrt{3}}^2=3$，所以一位一位求下去，可以得$\sqrt{3}$的近似值為 1.732
• $\sqrt{4}=2$
• $\sqrt{5}$
  1. 作短股 1 公分、長股 2 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：1²+2²=c²，所以c²=5，c=$\sqrt{5}$(參見第二段)
  2. 用尺量，$\sqrt{5}$約等於 2.2 公分。
  3. 由於${\sqrt{5}}^2=5$，所以一位一位求下去，可以得$\sqrt{5}$的近似值為 2.236
  4. 也可以作短股 $\sqrt{2}$ 公分、長股 $\sqrt{3}$ 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：${\sqrt{2}}^2+{\sqrt{3}}^2=c^2$，所以c²=5，c=$\sqrt{5}$(參見第二段)
  5. 也可以作短股 2 公分、長股 b 公分、斜邊 3 公分的直角三角形，依畢氏定理：2²+b²=3²，所以b²=5，b=$\sqrt{5}$(參見第二段)
• $\sqrt{6}$
  1. $\sqrt{6}=\sqrt{2}*\sqrt{3}$，不信的話你兩邊都給它平方，看會不會相等：
     • 左邊平方${\sqrt{6}}^2=6=2*3={\sqrt{2}}^2*{\sqrt{3}}^2=\sqrt{2}*\sqrt{2}*\sqrt{3}*\sqrt{3}$
     • 右邊平方${(\sqrt{2}*\sqrt{3})}^2=(\sqrt{2}*\sqrt{3})*(\sqrt{2}*\sqrt{3})=\sqrt{2}*\sqrt{2}*\sqrt{3}*\sqrt{3}$
  2. 以短股 1 公分、長股 2 公分的直角三角形，斜邊為$\sqrt{5}$；再作短股 1 公分長股$\sqrt{5}$公分的直角三角形，斜邊為$\sqrt{6}$。
  3. 第一種求近似值的方法，量$\sqrt{6}$約為 2.4 ，再利用${\sqrt{6}}^2=6$，求得近似值 2.449 。
  4. 第二種求近似值的方法，直接拿 1.414($\sqrt{2}$的近似值) 乘以 1.732($\sqrt{3}$的近似值) ，即得 2.449 ($\sqrt{6}$的近似值) 。
  5. 對根號來說，乘法可以拆離、合併，加法不能拆離、合併。
• $\sqrt{7}$
  1. 以短股 1 公分、斜邊 2 公分的直角三角形，長股為$\sqrt{3}$；再作短股 $\sqrt{3}$ 公分長股 2 公分的直角三角形，斜邊為$\sqrt{7}$。
  2. 求近似值的方法，量$\sqrt{7}$約為 2.6 ，再利用${\sqrt{7}}^2=7$，求得近似值 2.646 。
• $\sqrt{8}$
  1. 作圖方法一：作短股 2 公分、長股 2 公分、斜邊 c 公分的直角三角形，依畢氏定理：2²+2²=c²，所以c²=8，c=$\sqrt{8}$(參見第二段)
  2. 作圖方法二：作短股 1 公分、斜邊 3 公分的直角三角形，長股為 b ，依畢氏定理：1²+b²=3²，所以b²=8，b=$\sqrt{8}$(參見第二段)
  3. 第一種求近似值的方法，量$\sqrt{8}$約為 2.8 ，再利用${\sqrt{8}}^2=8$，求得近似值 2.828 。
  4. 第二種求近似值的方法，$\sqrt{8}=\sqrt{2*2*2}=\sqrt{2}*\sqrt{2}*\sqrt{2}=2*\sqrt{2}$直接拿 2 乘以 1.414($\sqrt{2}$的近似值)，即得 2.828 ($\sqrt{8}$的近似值) 。
• $\sqrt{9}=3$
• $\sqrt{10}$
  1. 作短股 1 公分、長股 3 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：1²+3²=c²，所以c²=10，c=$\sqrt{10}$(參見第二段)
  2. 用尺量，$\sqrt{10}$約等於 3.2 公分。
  3. 由於${\sqrt{10}}^2=10$，所以一位一位求下去，可以得$\sqrt{10}$的近似值為 3.162