查看“︁初中數學（香港課程）/坐標系統/3”︁的源代码

'''變換'''將一點改變位置，畫出一個新點。這個新點為原來的點的'''影像'''。

=== 平移 ===
當一點向著指定方向移動時，該變換稱為平移

{{Collapse|
以黑色圓點紙張於坐標系統標示兩點<math>M(8,\ 5)</math>和<math>N(6,\ 9)</math>

試順序記錄M和N的新位置
# 向左平移2單位
# 向右平移3單位
# 向上平移1單位
# 向下平移4單位
|探究活動}}

左右平移時，點向水平方向移動。因此，y軸坐標不變
* 向左平移，x軸坐標和平移的單位相減
* 向右平移，x軸坐標和平移的單位相加

{{quote|設原本坐標為<math>(x,\ y)</math>

向左平移z單位後的影像是<math>(x-z,\ y)</math>

向右平移z單位後的影像是<math>(x+z,\ y)</math>
}}

上下平移時，點向鉛垂方向移動。因此，x軸坐標不變
* 向下平移，y軸坐標和平移的單位相減
* 向上平移，y軸坐標和平移的單位相加

{{quote|設原本坐標為<math>(x,\ y)</math>

向下平移z單位後的影像是<math>(x,\ y-z)</math>

向上平移z單位後的影像是<math>(x,\ y+z)</math>
}}

{{MathHKQA|1=1
|2=直角坐標系統上有一點<math>Q(8,\ -6)</math>，<math>Q</math>向左平移9單位至<math>Q_1</math>，<math>Q_1</math>向上平移5單位至<math>Q_2</math>
|sol=
# <math>Q_1=(8-9,\ -6)=(-1,\ -6)</math>
# <math>Q_2=(-1,\ -6+5)=(-1,\ -1)</math>
}}

=== 反射 ===
反射是另一種點的變換，原本的點和影像沿反射軸呈反射對稱
{{Collapse|
==== 第一部分：一點反射的法則 ====
在坐標紙上標上<math>I(3,\ 2)</math>和<math>J(1,\ 4)</math>

試於以下地方放上鏡子，並以一把尺量度點和鏡像與鏡子的距離
# x軸和y軸
# <math>(1,\ 2)</math>和<math>(3,\ 2)</math>組成的直線

寫出結論

==== 第二部分：沿軸線反射 ====
利用上述法則
# 標上<math>I</math>和<math>J</math>沿x軸反射的結果，並得出坐標
# 標上<math>I</math>和<math>J</math>沿y軸反射的結果，並得出坐標

坐標和原本的關係是怎樣

|探究活動}}

原本的點和影像連成的直線和反射軸垂直，並和相交點的距離相等

{{quote|假設<math>I</math>沿<math>L</math>反射至<math>I^\prime</math>

而<math>II^\prime</math>交<math>L</math>於<math>M</math>}}

# <math>IM=I^\prime M</math>
# <math>II^\prime \perp L</math>

若果反射軸為x軸，即<math>M(x,\ 0)</math>

為保持垂直，<math>I(x,\ y_1)</math>、<math>I^\prime (x,\ y_2)</math>
<math>\begin{align}
IM&=I^\prime M
y_1-0&=0-y_2\\
y_1=-y_2
\end{align}</math>

反射x軸時，x坐標不變，y坐標符號相反。同樣地，反射y軸時，y坐標不變，x坐標符號相反。

{{quote|試考慮一點<math>(x,\ y)</math>
# x軸反射的影像：<math>(x,\ -y)</math>
# y軸反射的影像：<math>(-x,\ y)</math>
}}

{{MathHKQA|1=2
|2=<math>A(6,\ -8)</math>沿x軸反射至<math>A_1</math>，<math>A_1</math>沿y軸反射至<math>A_2</math>

求<math>A_1</math>和<math>A_2</math>的坐標
|sol=
<math>A_1=(6,\ 8)</math>

<math>A_2=(-6,\ 8)</math>
}}

{{Collapse|
# 標上<math>M(5,\ -1)</math>和<math>N(-5,\ -1)</math>，連上<math>MN</math>
# 試將<math>I(3,\ 2)</math>和<math>J(1,\ 4)</math>標上
# 標上沿<math>MN</math>反射的影像
# 記錄原點和反射軸的距離，以及原點和影像的距離

得出結論
}} 

<math>\because IM=I^\prime M</math>

<math>\therefore II^\prime =2IM</math>

一點和影像的距離是一點和反射軸的垂直距離的兩倍

沿任一水平或垂直線反射時，相等於沿反射軸的方向平移，距離為和影像的距離

{{quote|假設一點<math>(x,\ y)</math>和反射軸<math>L</math>的垂直距離為<math>k</math>，影像坐標取決於反射軸為該點的：
# 左方<math>=(x-2k,\ y)</math>
# 右方<math>=(x+2k,\ y)</math>
# 上方<math>=(x,\ y+2k)</math>
# 下方<math>=(x,\ y-2k)</math>
}}

{{MathHKQA|1=3
|2=<math>D(10,\ -5)</math>沿穿過<math>(4,\ 0)</math>的直線<math>L</math>反射至<math>D^\prime</math>，求<math>D^\prime</math>的坐標
|sol=<math>10-4=6</math>

<math>D</math>和<math>L</math>的距離為6單位

設<math>D^\prime(x,\ -5)</math>
<math>\begin{align}
4-x&=6\\
4-6&=x\\
x&=-2
\end{align}</math>

<math>D^\prime=(-2,\ -5)</math>
}}

=== 旋轉 ===
線段可沿其中一端點旋轉，該點為旋轉的中心

一點<math>B</math>沿旋轉中心<math>O</math>旋轉等同於連著旋轉點<math>B</math>和旋轉中心<math>O</math>的線段<math>OB</math>沿旋轉中心<math>O</math>的旋轉

判斷以原點為中心的旋轉中，影像坐標的方法：
# 連接原點和旋轉點為一線段
# 畫出旋轉後的線段
# 觀察所在的象限，記錄端點坐標

若果順時針旋轉和對應逆時針旋轉的角度總和一圈，影像的位置一樣。

* 90°和270°旋轉後的x坐標和y坐標調轉，180°和360°則維持不變
{{quote|順時針旋轉<math>n^\circ</math>和逆時針旋轉<math>(360-n)^\circ</math>等同：

# 順時針旋轉<math>90^\circ=</math>逆時針旋轉<math>270^\circ=(y,\ -x)</math>
# 旋轉<math>180^\circ=(-x,\ -y)</math>
# 順時針旋轉<math>270^\circ=</math>順時針旋轉<math>90^\circ=(-y,\ x)</math>
}}
{{MathHKQA|1=4
|2=<math>C(-9,\ 7)</math>順時針旋轉90°至<math>C_1</math>，<math>C</math>旋轉180°至<math>C_2</math>

寫出<math>C_1</math>和<math>C_2</math>的坐標
|sol=
# <math>C_1=(7,\ 9)</math>
# <math>C_2=(9,\ -7)</math>
}}