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由多項式P除以多項式Q組成不是多項式的代數式（<math>\frac{P}{Q}</math>）稱作'''代數分式'''（英：Algebraic Fraction）

* 若果Q是數字，則成為多項式（<math>Q\neq 0</math>），代數分式的分母不可以是數字
* 例子：<math>\frac{4}{x}</math>、<math>\frac{a+1}{a-3}</math>、 <math>\frac{1}{p^2-5pq+q^2}</math>

{{Collapse|
# <math>\frac{x}{9x}</math>和<math>\frac{7a-56}{a-8}</math>能否直接化簡？如是，試化簡
# 試因式分解<math>\frac{7a-56}{a-8}</math>的分子，並化簡
}}
代數分式中分子和分母的公因式需因式分解才可取出，之後再消去公因式化簡

{{MathHKQA|1=1
|2=化簡：
# <math>\frac{9b-54}{b^2-6b}</math>
# <math>\frac{20y}{4y+8}</math>
# <math>\frac{3c^3+30c^2d}{7c^2d+70cd^2}</math>
|sol=
# <math>\begin{align}
\frac{9b-54}{b^2-6b}&=\frac{9\cancel{(b-6)}}{b\cancel{(b-6)}}\\
&=\frac{9}{b}
\end{align}</math>
# <math>\begin{align}
\frac{20y}{4y+8}&=\frac{20y}{4(y+2)}\\
&=\frac{5y}{y+2}
\end{align}</math>
# <math>\begin{align}
\frac{3c^2d+30cd^2}{7c^3+70c^2d}&=\frac{{\color{red}3cd}{\color{blue}(c+10d)}}{{\color{red}7c^2}{\color{blue}(c+10d)}}\\
&=\frac{3d}{7c}
\end{align}</math>
}}

{{MathHKQA|1=2
|2=化簡：
# <math>\frac{8-z}{6z-48}</math>
# <math>\frac{9r+45-rs-5s}{r+5}</math>
|sol=
# <math>\begin{align}
\frac{8-z}{6z-48}&=\frac{-(z-8)}{6(z-8)}\\
&=-\frac{1}{6}
\end{align}</math>
# <math>\begin{align}
\frac{s-9}{9r+45-rs-5s}&=\frac{-(9-s)}{9(r+5)-s(r+5)}\\
&=\frac{-(9-s)}{(9-s)(r+5)}\\
&=-\frac{1}{r+5}
\end{align}</math>
}}

=== 乘法與除法 ===
小學的分數乘法：
<math>\frac{5}{6}\cdot \frac{8}{15}=\frac{\cancel{5}^1}{\cancel{6}_3}\cdot \frac{\cancel{8}^4}{\cancel{15}_3}=\frac{4}{9}</math>

代數分式的的乘法與分數步驟相同，只需把兩個分式的分子互乘、分母互乘即可，分子、分母之間可約簡

* 化簡仍需因式分解

小學的分數除法：
<math>\frac{\frac{1}{14}}{\frac{3}{7}}=\frac{1}{14}\cdot \frac{7}{3}=\frac{1}{6}</math>

同樣地，代數分式的除法中，分母和分子需倒轉，化為乘法

{{MathHKQA|1=3
|2=
化簡：
# <math>\frac{2k+18}{10}\cdot \frac{8}{k^2+9k}</math>
# <math>\frac{\frac{21u^5}{6v^4}}{\frac{7u^3}{24v}}</math>
# <math>\frac{\frac{4n+20}{n-1}}{\frac{3n+15}{n^2-n}}</math>
|sol=
# <math>\begin{align}
\frac{2k+18}{10}\cdot \frac{8}{k^2+9k}&=\frac{\cancel{2}\cancel{(k+9)}}{\cancel{10}_5}\cdot \frac{8}{k\cancel{(k+9)}}\\
&=\frac{8}{5k}
\end{align}</math>
# <math>\begin{align}
\frac{\frac{21u^5}{6v}}{\frac{\color{red}7u^3}{\color{blue}24v^4}}&=\frac{21u^5}{6v}\cdot \frac{\color{blue}24v^4}{\color{red}7u^3}\\
&=\frac{12u^2}{v^3}
\end{align}</math>
# <math>\begin{align}
\frac{\frac{4n+20}{n-1}}{\frac{3n+15}{n^2-n}}&=\frac{4n+20}{n-1}\cdot \frac{n^2-n}{3n+15}\\
&=\frac{4(n+5)}{n-1}\cdot \frac{n(n-1)}{3(n+5)}\\
&=\frac{4n}{3}
\end{align}</math>
}}

{{MathHKQA|1=4
|2=化簡：
# <math>\frac{56m-63m^2}{m^3}\cdot \frac{m^5}{42-54m}</math>
# <math>\frac{\frac{4h+8}{h^6}\cdot h}{\frac{h^2+2h}{h^3}}</math>
|sol=
<math>\begin{align}
\frac{56m-72m^2}{m^3}\cdot \frac{m^5}{42-54m}&=\frac{8m(7-9m)}{m^3}\cdot \frac{m^5}{6(7-9m)}\\
&=\frac{4}{3m^3}
\end{align}</math>
<math>\begin{align}
\frac{\frac{4h+8}{h^6}\cdot h}{\frac{h^2+2h}{h^3}}&=\frac{4h+8}{h^2}\cdot h^6\cdot \frac{h^3}{h^2+2h}
&=\frac{4(h+2)}{h^5}\cdot \frac{h^3}{h(h+2)}\\
&=\frac{4}{h^3}
\end{align}</math>
}}
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