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=== 平方差 ===

證明<math>(a+b)(a-b)\equiv a^2-b^2</math>：

<math>\begin{align}
\text{L.H.S.}&=(a+b)(a-b)\\
&=a^2-ab+ba-b^2\\
&=a^2-b^2\\
&=\text{R.H.S.}\\
\therefore (a+b)(a-b)\equiv a^2-b^2
\end{align}</math>

上述恆等式稱作'''平方差'''，記為

<center><big><math>(a+b)(a-b)\equiv a^2-b^2</math></big></center>

{{MathHKQA|1=1
|2=利用'''恆等式'''，展開
# <math>(9+m)(m-9)</math>
# <math>(4c+7d)(7d-4c)</math>
# <math>(8-5k)(-5k-8)</math>
|sol=
# <math>\begin{align}
(9+m)(m-9)&=({\color{red}m}+{\color{blue}9})({\color{red}m}-{\color{blue}9})\\
&={\color{red}m}^2-{\color{blue}9}^2\\
&=m^2-81
\end{align}</math>
# <math>\begin{align}
(4c+7d)(7d-4c)&=(7d)^2-(4c)^2\\
&=7d\cdot 7d-4c\cdot 4c\\
&=49d^2-16c^2
\end{align}</math>
# <math>\begin{align}
(8-5k)(-5k-8)&=(-5k+8)(-5k-8)\\
&=(-5k)^2-8^2\\
&=25k^2-64
\end{align}</math>
}}

{{MathHKQA|1=2
|2=展開
# <math>6(2h+1)(2h-1)</math>
# <math>(r+3)(r-3)(r^2+9)</math>
# <math>-5(w^2+6)(w^2-6)
|sol=
# <math>\begin{align}
6(2h+1)(2h-1)&=6(2h\cdot 2h-1)\\
&=6(4h^2-1)=24h
\end{align}</math>
# <math>\begin{align}
(r+3)(r-3)(r^2+9)&=(r^2-9)(r^2+9)\\
&=(r^2)^2-9^2\\
&=r^4-8
\end{align}</math>
# <math>\begin{align}
-5(w^2+6)(w^2-6)&=-5(w^2\cdot w^2-6^2)\\
&=-5(w^4-36)\\
&=180-5w^4
\end{align}</math>
}}

=== 完全平方 ===

證明<math>(a+b)^2\equiv a^2+2ab+b^2</math>:

<math>\begin{align}
\text{L.H.S.}&=(a+b)^2\\
&=(a+b)(a+b)\\
&=a^2+ab+ba+b^2\\
&=a^2+2ab+b^2\\
&=\text{R.H.S.}\\
\therefore (a+b)^2\equiv a^2+2ab+b^2
\end{align}</math>

上述恆等式稱作'''和平方'''，記作
<center><big><math>(a+b)^2\equiv a^2+2ab+b^2</math></big></center>
 
只要b變為<math>-b</math>，變為'''差平方'''，記作
<center><big><math>(a-b)^2\equiv a^2-2ab+b^2</math></big></center>

兩個恆等式均為完全平方

{{MathHKQA|1=3
|2= 利用'''恆等式'''，展開
# <math>(z-3)^2</math>
# <math>(4u+7v)^2</math>
# <math>(1-8t)^2</math>
|sol=
# <math>\begin{align}
(z-3)^2&=z^2-2\cdot 3z+3^2\\
&=z^2-6z+9
\end{align}</math>
# <math>\begin{align}
(4u+7v)&=(4u)^2-2\cdot 4u\cdot 7v+(7v)^2\\
&=4u\cdot 4u-56uv+7v\cdot 7v\\
&=16u^2-56uv+49v^2
\end{align}</math>
# <math>\begin{align}
(1-8t)^2&=1^2-2\cdot 1\cdot 8t+(8t)^2\\
&=1-16t+64t^2
\end{align}</math>
}}

{{MathHKQA|1=4
|2=
# <math>(\frac{p}{9}+\frac{q}{6})^2</math>
# <math>(c-7)^2+(8c+1)^2</math>
|sol=<math>\begin{align} 
(\frac{p}{9}+\frac{q}{6})^2&=(\frac{p}{9})^2+2\cdot \frac{p}{9}\cdot \frac{q}{6}+(\frac{q}{6})^2\\
&=\frac{p}{9}\cdot \frac{p}{9}+2\cdot \frac{pq}{54}+\frac{q}{6}\cdot \frac{q}{6}\\
&=\frac{p^2}{81}+\frac{pq}{27}+\frac{q^2}{36}
\end{align}</math>

<math>\begin{align} 
(c-7)^2+(8c+1)^2&=c^2-14c+49+64c^2+16c+1\\
&=65c^2+2c+50
\end{align}</math>

}}