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一元一次方程式是'''經由整理過後'''，形如<math>ax+b=0</math>的算式，其中<math>a \neq 0</math>。
==以符號代表數==
在小學數學中我們曾利用()、□、<math>\cdots</math>之類的符號寫出算式填充題。例如：
*小美原本有5顆巧克力，小明給小美一些巧克力之後，小美有8顆巧克力。小明給小美幾顆巧克力？
**我們最早的做法是<math>5+(  )=8</math>，因為<math>8-5=3</math>，所以<math>(  )=3</math>
後來我們改以英文字母<math>x</math>、<math>y</math>、<math>z</math>、<math>\cdots</math>等等來代表，並運用等量公理來協助解題：
*小美原本有5顆巧克力，小明給小美一些巧克力之後，小美有8顆巧克力。小明給小美幾顆巧克力？
**後來的做法是假設小明給小美<math>x</math>顆巧克力，<math>5+x=8 \Rightarrow 5+x-5=8-5 \Rightarrow x=3</math>

現在，我們將複習「'''等量公理'''」，並引進「'''移項法則'''」，為了是要解更複雜的方程式。
==更複雜的方程式==
什麼時候會遇到更複雜的一元一次方程式呢？讓我們來考慮這個問題吧：
*小美到麵包店買麵包。如果小美身上的錢買7個奶油麵包會不夠5元，買6個奶油麵包還剩下10元，那麼一個奶油麵包多少元？
**假設一個奶油麵包<math>x</math>元，則小美身上的錢可以表示為<math>(7x-5)</math>元，也可以表示為<math>(6x+10)</math>元，因為這都代表小美的錢，所以列出式子<math>7x-5=6x+10</math>。
你會發現目前為止你沒有解過這樣子兩邊都有未知數<math>(x)</math>出現的式子。
==方程式的解==
如果<math>x=a</math>可以讓一個方程式的等號成立，則我們說<math>x=a</math>是此方程式的解。

如：<math>2x=3x-3</math>
*當<math>x=1</math>時，左式<math>=2 \times 1=2</math>，右式<math>=3 \times 1-3=0</math>，又因為<math>2 \neq 0</math>，所以<math>x=1</math>不是方程式<math>2x=3x-3</math>的解。
*當<math>x=3</math>時，左式<math>=2 \times 3=6</math>，右式<math>=3 \times 3-3=6</math>，又因為<math>6=6</math>，所以<math>x=3</math>是方程式<math>2x=3x-3</math>的解。
===習題===
檢查<math>y=-2</math>、<math>y=-3</math>、<math>y=-4</math>當中，何者為<math>5(y+1)=3y-1</math>的解。<ref group="答案"><math>y=-3</math></ref>
==等量公理==
若<math>a</math>、<math>b</math>兩個數滿足<math>a=b</math>，<math>c</math>是一個數，則
 <math>1.a+c=b+c</math>
 <math>2.a-c=b-c</math>
 <math>3.a \times c=b \times c</math>
 <math>4.a \div c=b \div c(c \neq 0)</math>
這四條式子我們稱做'''等量公理'''。
*第<math>1</math>條式子我們有時會稱作'''等量加法公理'''。
*第<math>2</math>條式子我們有時會稱作'''等量減法公理'''。
*第<math>3</math>條式子我們有時會稱作'''等量乘法公理'''。
*第<math>4</math>條式子我們有時會稱作'''等量除法公理'''。

==驗算==
解完方程式之後應該要將答案代回方程式當中，確定等式成立。

==移項法則==
設<math>a</math>、<math>b</math>為兩個數，則
 <math>1.x+a=b\Rightarrow x=b-a </math>
 <math>2.x-a=b\Rightarrow x=b+a</math>
 <math>3.x \times a=b\Rightarrow x=b \div a(a \neq 0)</math>
 <math>4.x \div a=b\Rightarrow x=b \times a(a \neq 0)</math>
以上四式稱為'''移項法則'''。

請注意：無論是等量公理或是移項法則，就算<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>是未知數或是代數式也是可以的。但未知數或代數式必須確定該式'''不等於<math>0</math>'''才能夠進行除法運算。
===整理方程式===
有些方程式看起來很像一元一次方程式，但是我們不能確定，這時我們可以利用移項法則，確定是否能夠整理成<math>ax+b=0</math>且<math>a \neq 0</math>的形式。

舉些例子：
*<math>\frac{x}{7}=5</math>是一元一次方程式，因為<math>\frac{x}{7}=5</math>可以改寫成<math>\frac{1}{7}x-5=0</math>，符合<math>ax+b=0</math>且<math>a \neq 0</math>的形式。
*<math>6x+2=3(2x+7)</math>不是一元一次方程式，因為<math>6x+2=3(2x+7) \Rightarrow 6x+2={\color{red}6x}{\color{blue}+21} \Rightarrow 6x{\color{red}-6x}+2{\color{blue}-21}=0 \Rightarrow 0x-19=0</math>，不符合<math>a \neq 0</math>。
===利用移項法則解方程式===
例題<math>1.</math>解方程式<math>7x-5=6x+10</math>。

解：
{| class="wikitable"
! 移項法則
! 等量公理
|-
| 
 <math>7x{\color{red}-5}=6x+10</math>
 <math>\Rightarrow 7x={\color{blue}6x}+10{\color{red}+5}</math>
 <math>\Rightarrow 7x{\color{blue}-6x}=10+5</math>
 <math>\Rightarrow x=15</math>
| 
 <math>7x-5=6x+10</math>
 <math>\Rightarrow 7x-5{\color{red}+5}=6x+10{\color{red}+5}</math>
 <math>\Rightarrow 7x{\color{blue}-6x}=6x+15{\color{blue}-6x}</math>
 <math>\Rightarrow 7x-6x=15</math>
 <math>\Rightarrow x=15</math>
|}
可以發現利用移項法則會比較簡便。

例題<math>2.</math>解方程式<math>7x-4=5x+6</math>。

 解：<math>7x{\color{red}-4}=5x+6</math>
 <math>\Rightarrow 7x={\color{blue}5x}+6{\color{red}+4}</math>
 <math>\Rightarrow 7x{\color{blue}-5x}=6+4</math>
 <math>\Rightarrow {\color{green}2}x=10</math>
 <math>\Rightarrow x=10{\color{green}\div 2}</math>
 <math>\Rightarrow x=5</math>

===先去括號，再利用移項法則===
例題<math>3.</math>解方程式<math>7(x+4)=5(2x+6)</math>。

 解：<math>7(x+4)=5(2x+6)</math>
 <math>\Rightarrow 7x{\color{red}+28}=10x+30</math>(乘開)
 <math>\Rightarrow 7x={\color{blue}10x}+30{\color{red}-28}</math>(移項)
 <math>\Rightarrow 7x{\color{blue}-10x}=2</math>
 <math>\Rightarrow {\color{green}-3}x=2</math>
 <math>\Rightarrow x=2{\color{green}\div (-3)}</math>
 <math>\Rightarrow x=-\frac{2}{3}</math>

===分數型：先同乘以一個數，再利用移項法則===
在同乘一個數的時候，建議'''補上括號'''，免得出錯。

例題<math>4.</math>解方程式<math>\frac{x+4}{2}-\frac{2x+1}{3}=5</math>。

 解：<math>\frac{x+4}{2}-\frac{2x+1}{3}=5</math>
 <math>\Rightarrow 3(x+4)-2(2x+1)=30</math>(同乘以6)
 <math>\Rightarrow 3x+12-4x-2=30</math>(展開)
 <math>\Rightarrow -x{\color{red}+10}=30</math>(化簡)
 <math>\Rightarrow -x=30{\color{red}-10}</math>(移項)
 <math>\Rightarrow {\color{green}-1}x=20</math>(化簡)
 <math>\Rightarrow x=20{\color{green}\div (-1)}</math>(移項)
 <math>\Rightarrow x=-20</math>

===習題===
解下列方程式：
#<math>3x+3=7x-5</math><ref group="答案"><math>3x+3=7x-5 \Rightarrow 3x-7x=-5-3
 \Rightarrow -4x=-8
 \Rightarrow x=2</math></ref>
#<math>6(x-3)=2(x+1)</math><ref group="答案"><math>6(x-3)=2(x+1) \Rightarrow 6x-18=2x+2
 \Rightarrow 6x-2x=2+18
 \Rightarrow 4x=20
 \Rightarrow x=5</math></ref>
#<math>\frac{2x+3}{3}=\frac{x-5}{5}</math><ref group="答案"><math>\frac{2x+3}{3}=\frac{x-5}{5} \Rightarrow 5(2x+3)=3(x-5)
 \Rightarrow 10x+15=3x-15
 \Rightarrow 10x-3x=-15-15
 \Rightarrow 7x=-30
 \Rightarrow x=-\frac{30}{7}</math></ref>

==課外補充：<math>0x+b=0</math>型的方程式==
因為<math>0x=0</math>，所以<math>0x+b=0+b=b</math>。
*若<math>b \neq 0</math>，則<math>0x+b=0</math>'''無解'''。
*若<math>b=0</math>，則<math>0x+b=0</math>有'''無限多個解'''。
==更多內容==
*[[國中數學/國中數學七年級/3-2 解一元一次方程式|解一元一次方程式]]

==註解==
<references group="註" />
==習題解答==
<references group="答案" />

[[Category:國中數學]]