國中數學/一元一次方程式

一元一次方程式是經由整理過後，形如 $a x + b = 0$ 的算式，其中 $a \neq 0$ 。

以符號代表數

在小學數學中我們曾利用()、□、 $\dots$ 之類的符號寫出算式填充題。例如：

小美原本有5顆巧克力，小明給小美一些巧克力之後，小美有8顆巧克力。小明給小美幾顆巧克力？
- 我們最早的做法是 $5 + () = 8$ ，因為 $8 - 5 = 3$ ，所以 $() = 3$

後來我們改以英文字母 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 、 $\dots$ 等等來代表，並運用等量公理來協助解題：

小美原本有5顆巧克力，小明給小美一些巧克力之後，小美有8顆巧克力。小明給小美幾顆巧克力？
- 後來的做法是假設小明給小美 $x$ 顆巧克力， $5 + x = 8 \Rightarrow 5 + x - 5 = 8 - 5 \Rightarrow x = 3$

現在，我們將複習「等量公理」，並引進「移項法則」，為了是要解更複雜的方程式。

更複雜的方程式

什麼時候會遇到更複雜的一元一次方程式呢？讓我們來考慮這個問題吧：

小美到麵包店買麵包。如果小美身上的錢買7個奶油麵包會不夠5元，買6個奶油麵包還剩下10元，那麼一個奶油麵包多少元？
- 假設一個奶油麵包 $x$ 元，則小美身上的錢可以表示為 $(7 x - 5)$ 元，也可以表示為 $(6 x + 10)$ 元，因為這都代表小美的錢，所以列出式子 $7 x - 5 = 6 x + 10$ 。

你會發現目前為止你沒有解過這樣子兩邊都有未知數 $(x)$ 出現的式子。

方程式的解

如果 $x = a$ 可以讓一個方程式的等號成立，則我們說 $x = a$ 是此方程式的解。

如： $2 x = 3 x - 3$

當 $x = 1$ 時，左式 $= 2 \times 1 = 2$ ，右式 $= 3 \times 1 - 3 = 0$ ，又因為 $2 \neq 0$ ，所以 $x = 1$ 不是方程式 $2 x = 3 x - 3$ 的解。
當 $x = 3$ 時，左式 $= 2 \times 3 = 6$ ，右式 $= 3 \times 3 - 3 = 6$ ，又因為 $6 = 6$ ，所以 $x = 3$ 是方程式 $2 x = 3 x - 3$ 的解。

習題

檢查 $y = - 2$ 、 $y = - 3$ 、 $y = - 4$ 當中，何者為 $5 (y + 1) = 3 y - 1$ 的解。^{[答案 1]}

等量公理

若 $a$ 、 $b$ 兩個數滿足 $a = b$ ， $c$ 是一個數，則

 $1 . a + c = b + c$ 
 $2 . a - c = b - c$ 
 $3 . a \times c = b \times c$ 
 $4 . a \div c = b \div c (c \neq 0)$

這四條式子我們稱做等量公理。

第 $1$ 條式子我們有時會稱作等量加法公理。
第 $2$ 條式子我們有時會稱作等量減法公理。
第 $3$ 條式子我們有時會稱作等量乘法公理。
第 $4$ 條式子我們有時會稱作等量除法公理。

驗算

解完方程式之後應該要將答案代回方程式當中，確定等式成立。

移項法則

設 $a$ 、 $b$ 為兩個數，則

 $1 . x + a = b \Rightarrow x = b - a$ 
 $2 . x - a = b \Rightarrow x = b + a$ 
 $3 . x \times a = b \Rightarrow x = b \div a (a \neq 0)$ 
 $4 . x \div a = b \Rightarrow x = b \times a (a \neq 0)$

以上四式稱為移項法則。

請注意：無論是等量公理或是移項法則，就算 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是未知數或是代數式也是可以的。但未知數或代數式必須確定該式不等於 $0$ 才能夠進行除法運算。

整理方程式

有些方程式看起來很像一元一次方程式，但是我們不能確定，這時我們可以利用移項法則，確定是否能夠整理成 $a x + b = 0$ 且 $a \neq 0$ 的形式。

舉些例子：

$\frac{x}{7} = 5$ 是一元一次方程式，因為 $\frac{x}{7} = 5$ 可以改寫成 $\frac{1}{7} x - 5 = 0$ ，符合 $a x + b = 0$ 且 $a \neq 0$ 的形式。
$6 x + 2 = 3 (2 x + 7)$ 不是一元一次方程式，因為 $6 x + 2 = 3 (2 x + 7) \Rightarrow 6 x + 2 = 6 x + 21 \Rightarrow 6 x - 6 x + 2 - 21 = 0 \Rightarrow 0 x - 19 = 0$ ，不符合 $a \neq 0$ 。

利用移項法則解方程式

例題 $1 .$ 解方程式 $7 x - 5 = 6 x + 10$ 。

解：

移項法則

等量公理

 $7 x - 5 = 6 x + 10$ 
 $\Rightarrow 7 x = 6 x + 10 + 5$ 
 $\Rightarrow 7 x - 6 x = 10 + 5$ 
 $\Rightarrow x = 15$

 $7 x - 5 = 6 x + 10$ 
 $\Rightarrow 7 x - 5 + 5 = 6 x + 10 + 5$ 
 $\Rightarrow 7 x - 6 x = 6 x + 15 - 6 x$ 
 $\Rightarrow 7 x - 6 x = 15$ 
 $\Rightarrow x = 15$

可以發現利用移項法則會比較簡便。

例題 $2 .$ 解方程式 $7 x - 4 = 5 x + 6$ 。

解： $7 x - 4 = 5 x + 6$ 
 $\Rightarrow 7 x = 5 x + 6 + 4$ 
 $\Rightarrow 7 x - 5 x = 6 + 4$ 
 $\Rightarrow 2 x = 10$ 
 $\Rightarrow x = 10 \div 2$ 
 $\Rightarrow x = 5$

先去括號，再利用移項法則

例題 $3 .$ 解方程式 $7 (x + 4) = 5 (2 x + 6)$ 。

解： $7 (x + 4) = 5 (2 x + 6)$ 
 $\Rightarrow 7 x + 28 = 10 x + 30$ (乘開)
 $\Rightarrow 7 x = 10 x + 30 - 28$ (移項)
 $\Rightarrow 7 x - 10 x = 2$ 
 $\Rightarrow - 3 x = 2$ 
 $\Rightarrow x = 2 \div (- 3)$ 
 $\Rightarrow x = - \frac{2}{3}$

分數型：先同乘以一個數，再利用移項法則

在同乘一個數的時候，建議補上括號，免得出錯。

例題 $4 .$ 解方程式 $\frac{x + 4}{2} - \frac{2 x + 1}{3} = 5$ 。

解： $\frac{x + 4}{2} - \frac{2 x + 1}{3} = 5$ 
 $\Rightarrow 3 (x + 4) - 2 (2 x + 1) = 30$ (同乘以6)
 $\Rightarrow 3 x + 12 - 4 x - 2 = 30$ (展開)
 $\Rightarrow - x + 10 = 30$ (化簡)
 $\Rightarrow - x = 30 - 10$ (移項)
 $\Rightarrow - 1 x = 20$ (化簡)
 $\Rightarrow x = 20 \div (- 1)$ (移項)
 $\Rightarrow x = - 20$

習題

解下列方程式：

$3 x + 3 = 7 x - 5$ ^{[答案 2]}
$6 (x - 3) = 2 (x + 1)$ ^{[答案 3]}
$\frac{2 x + 3}{3} = \frac{x - 5}{5}$ ^{[答案 4]}

課外補充： $0 x + b = 0$ 型的方程式

因為 $0 x = 0$ ，所以 $0 x + b = 0 + b = b$ 。

若 $b \neq 0$ ，則 $0 x + b = 0$ 無解。
若 $b = 0$ ，則 $0 x + b = 0$ 有無限多個解。

註解

習題解答

↑ $y = - 3$
↑ $3 x + 3 = 7 x - 5 \Rightarrow 3 x - 7 x = - 5 - 3 \Rightarrow - 4 x = - 8 \Rightarrow x = 2$
↑ $6 (x - 3) = 2 (x + 1) \Rightarrow 6 x - 18 = 2 x + 2 \Rightarrow 6 x - 2 x = 2 + 18 \Rightarrow 4 x = 20 \Rightarrow x = 5$
↑ $\frac{2 x + 3}{3} = \frac{x - 5}{5} \Rightarrow 5 (2 x + 3) = 3 (x - 5) \Rightarrow 10 x + 15 = 3 x - 15 \Rightarrow 10 x - 3 x = - 15 - 15 \Rightarrow 7 x = - 30 \Rightarrow x = - \frac{30}{7}$

[1] $y = - 3$

[2] $3 x + 3 = 7 x - 5 \Rightarrow 3 x - 7 x = - 5 - 3 \Rightarrow - 4 x = - 8 \Rightarrow x = 2$

[3] $6 (x - 3) = 2 (x + 1) \Rightarrow 6 x - 18 = 2 x + 2 \Rightarrow 6 x - 2 x = 2 + 18 \Rightarrow 4 x = 20 \Rightarrow x = 5$

[4] $\frac{2 x + 3}{3} = \frac{x - 5}{5} \Rightarrow 5 (2 x + 3) = 3 (x - 5) \Rightarrow 10 x + 15 = 3 x - 15 \Rightarrow 10 x - 3 x = - 15 - 15 \Rightarrow 7 x = - 30 \Rightarrow x = - \frac{30}{7}$

[答案 1]

[答案 2]

[答案 3]

[答案 4]

國中數學/一元一次方程式

目录

以符號代表數

更複雜的方程式

方程式的解

習題

等量公理

驗算

移項法則

整理方程式

利用移項法則解方程式

先去括號，再利用移項法則

分數型：先同乘以一個數，再利用移項法則

習題

課外補充： $0 x + b = 0$ 型的方程式

更多內容

註解

習題解答

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以符號代表數

更複雜的方程式

方程式的解

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等量公理

驗算

移項法則

整理方程式

利用移項法則解方程式

先去括號，再利用移項法則

分數型：先同乘以一個數，再利用移項法則

習題

課外補充：0x+b=0型的方程式

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